dans lequel nous avons prouvé que la forme que nous avons donnée au rayon des sphéroïdes n’est point arbitraire et découle de la nature même de leurs attractions.
29. Reprenons maintenant l’équation (1) du no 23. Si l’on y substitue pour
sa valeur donnée par la formule (6) du no 14, on aura, relativement aux différentes couches fluides,
(1)
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les différentielles et les intégrales étant relatives à la variable
: les deux premières intégrales du second membre de cette équation doivent être prises depuis
jusqu’à
étant la valeur de
relative à la couche fluide de niveau que l’on considère, et cette valeur à la surface étant prise pour unité ; les deux dernières intégrales doivent être prises depuis
jusqu’à
; enfin, le rayon
doit être changé en
après toutes les différentiations et les intégrations. Dans les termes multipliés par
, il suffira de changer
en
; mais, dans le terme
il faudra substituer
pour
, ce qui le change dans celui-ci
et par conséquent dans le suivant
![{\displaystyle {\frac {4\pi }{3a}}\left(1-\alpha {\rm {Y}}^{(0)}-\alpha {\rm {Y}}^{(1)}-\alpha {\rm {Y}}^{(2)}-\ldots \right)\int \rho d.a^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547c6682031fbe6224209eb4948fb8e55febcf24)
Cela posé, si dans l’équation (1) on compare les fonctions semblables, on aura d’abord
![{\displaystyle \int {\frac {d\Pi }{\rho }}=2\pi \int \rho d.a^{2}+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{2}{\rm {Y}}^{(0)}\right)+{\frac {4\pi }{3a}}\int \rho d.a^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1104aeb678a7fb0cba5b15ad1a75d78ac24fead)
![{\displaystyle -{\frac {4\alpha \pi }{3a}}{\rm {Y}}^{(0)}\int \rho d.a^{3}+{\frac {4\alpha \pi }{a}}\int \rho d.\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}\right)+\alpha a^{2}{\rm {Z}}^{(0)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da63dc0b9bfdad3fc565ede7620bf9a9007cdb2)