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que le rayon $a(1+\alpha \mu )$ est celui d’une sphère dans laquelle l’origine des rayons est à la distance $\alpha$ de son centre ; mais alors il est aisé de voir que $\rho =1,$ c’est-à-dire que le sphéroïde est homogène, ce qui est conforme au résultat du numéro précédent.

28. Lorsqu’on a les figures de révolution qui satisfont à l’équilibre, il est facile d’en conclure celles qui ne sont pas de révolution, par la méthode suivante. Au lieu de fixer l’origine de l’angle $\theta$ à l’extrémité de l’axe de révolution, supposons qu’elle soit à une distance $\gamma$ de cette extrémité, et nommons $\theta '$ la distance à cette même extrémité du point de la surface dont $\theta$ est la distance à la nouvelle origine de l’angle $\theta .$ Nommons de plus $\varpi -{\text{ϐ}}$ l’angle compris entre les deux arcs et $\theta$ et $\gamma$ ; nous aurons

$\cos \theta '=\cos \gamma \cos \theta +\sin \gamma \sin \theta \cos(\varpi -{\text{ϐ}})\,;$

en désignant donc par $\Gamma (\cos \theta ')$ la fonction

$\cos ^{i}\theta '-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\cos ^{i-2}\theta '+\ldots ,$

le rayon du sphéroïde immobile, en équilibre, que nous venons de voir être égal à $a\left[s1+\alpha \Gamma (\cos \theta ')\right],$ sera

$a+\alpha a\Gamma \left[\cos \gamma \cos \theta +\sin \gamma \sin \theta \cos(\varpi -{\text{ϐ}})\right],$

et, quoiqu’il soit fonction de l’angle $\varpi ,$ il appartient à un solide de révolution, dans lequel l’origine de l’angle n’est point à l’extrémité de l’axe de révolution.

Puisque ce rayon satisfait à l’équation de l’équilibre, quels que soient $\alpha ,$ ϐ et $\gamma$, il y satisfera encore en changeant ces quantités en $a',$ ϐ’ et $\gamma '\,;\ \alpha '',{\text{ϐ}}''$ et $y'',$ etc. ; d’où il suit que, cette équation étant linéaire, le rayon

${\begin{aligned}a&+\alpha a\Gamma \left[\cos \gamma \cos \theta +\sin \gamma \sin \theta \cos(\varpi -{\text{ϐ}})\right]\\&+\alpha 'a\Gamma \left[\cos \gamma '\cos \theta +\sin \gamma '\sin \theta \cos(\varpi -{\text{ϐ}}')\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

y satisfera pareillement. Le sphéroïde auquel ce rayon appartient n’est