cette dernière équation aura ses racines égales deux à deux, mais affectées de signes contraires ; elle ne renfermera donc que les puissances paires de l’inconnue et elle pourra se résoudre à la manière des équations du troisième degré.
Il suit de là que, en supposant, pour plus de simplicité,
et en représentant par
la fonction
sera donné par une équation du troisième degré ; or, on a
![{\displaystyle (a+b-c-d)^{2}=-4p+4(ab+cd)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22fafcc8b69f36b024c79d4fb6bc4589f4492fb)
l’équation en
sera donc
![{\displaystyle \left[z+p-(ab+cd)\right]\left[z+p-(ad+bc)\right]\left[z+p-(ac+bd)\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1489ba0bfdb8398d3528e8bb223f024cc2d073a)
d’où l’on tire
![{\displaystyle z^{3}+2pz^{2}+\left(p^{2}-4r\right)z-q^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612d34ca0535a863a7b15e1d03aace66b1f44389)
Telle est la réduite des équations du quatrième degré. Soient
ses trois racines, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a+b-c-d=&2{\sqrt {z}},\\a+c-b-d=&2{\sqrt {z'}},\\a+d-b-c=&2{\sqrt {z''}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028740974824a9f7053152e5e7e9890500dc9566)
En combinant ces trois équations avec celle-ci,
qui résulte de ce que le deuxième terme manque dans l’équation proposée du quatrième degré, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {z}}+{\sqrt {z'}}+{\sqrt {z''}}\right),\\b=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {z}}-{\sqrt {z'}}-{\sqrt {z''}}\right),\\c=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {z'}}-{\sqrt {z}}-{\sqrt {z''}}\right),\\d=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {z''}}-{\sqrt {z}}-{\sqrt {z'}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901cad486e44deaf33e015b7f1a2cf1c910009d6)
Chacun des radicaux
pouvant être également affecté du signe
ou du signe
il en résulte huit valeurs différentes pour les