quantité
est donc l’écart du corps à l’est de la verticale.
Supposons maintenant la résistance de l’air proportionnelle au carré de la vitesse, en sorte que
étant un coefficient qui dépend de la figure du corps et de la densité de l’air, densité variable à raison de l’élévation du corps, mais qui peut être ici supposée constante sans erreur sensible. On aura
![{\displaystyle 0=\alpha {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+\alpha ^{2}m{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}-g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c950f4a0cfb53fdfb612553eb7ccdbcd0e06f91c)
Pour intégrer cette équation, nous ferons
![{\displaystyle \alpha s={\frac {1}{m}}\log s',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b836189f8da6f6319c82a5c5f67c14315dc67cf8)
et nous aurons
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}-mgs',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7481452157298a9b5debdeefc676391aa8dde0)
ce qui donne en intégrant
![{\displaystyle s'=\mathrm {A} e^{t{\sqrt {mg}}}+\mathrm {B} e^{-t{\sqrt {mg}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6df5348068285add103bf60bf8cef864aff314a)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité et
et
étant deux arbitraires. Pour les déterminer nous observerons que
doit être nul lorsque
ce qui donne alors
![{\displaystyle s'=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d2a72d176be753303fc061f1581c58d3297351)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \mathrm {A+B} =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91c085999b5a3430b68f2f0760f07b8a42464d0)
de plus,
doit être nul avec
et, par conséquent, aussi
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {A-B} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b53ec2a33dc6b058fa20cf9517f94660850039b)
On a donc
![{\displaystyle \mathrm {A=B} ={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f67201eae86d5a6b006984d233ec307fddf1690)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \alpha s={\frac {1}{m}}\log \left({\frac {1}{2}}e^{t{\sqrt {mg}}}+{\frac {1}{2}}e^{-t{\sqrt {mg}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5962019ce249f13243d40a66afde94c547cb572f)