donnait la suivante,
![{\displaystyle 0={\frac {dx}{\sqrt {1-2\alpha x^{2}+x^{4}}}}-{\frac {dy}{\sqrt {1-2\alpha y^{2}+y^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025050038bb07e95ea583af958d7544c99db06b4)
dans laquelle
![{\displaystyle \alpha ={\frac {1+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\beta }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e37f598114de8fd56af122aa2f10d9788c1b97)
et comme
est donné en fonction des deux constantes
et
l’équation finie précédente renferme une constante arbitraire et, par conséquent, elle est l’intégrale complète de l’équation différentielle. En effet, si l’on suppose
l’équation finie devient
![{\displaystyle 0=a^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)+2xy{\sqrt {1-2\alpha a^{2}+a^{4}}}+a^{2}x^{2}y^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f025362e50845a59de401d9b1298aafe12f982c)
étant une constante arbitraire qui ne se rencontre point dans l’équation différentielle. Cette équation donne
![{\displaystyle a={\frac {x{\sqrt {\mathrm {Y} }}-y{\sqrt {\mathrm {X} }}}{1-x^{2}y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ffbfa99895763dcff57a3303356be595ff75a8)
étant égal à
et
étant
On a de plus, par ce qui précède,
![{\displaystyle \psi (x)=\psi (y)+\psi (a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c88ef0c03ea64dce5b988680b46c240b977006)
étant l’intégrale
cette intégrale commençant avec
en formant donc une Table à simple entrée des valeurs de
cette Table donnera les valeurs de
ou de
car la différence
étant égale à
cette Table donnera la valeur de
On pourra même, au moyen d’une seconde Table à simple entrée, qui donne les valeurs d’une fonction quelconque
de
avoir celle de ![{\displaystyle \Gamma \left({\frac {x{\sqrt {\mathrm {Y} }}-y{\sqrt {\mathrm {X} }}}{1-x^{2}y^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc518582c31fafb1a85a4fb8810ab2f21c75f14f)
Si l’on fait
l’équation algébrique précédent donnera
![{\displaystyle x={\frac {y{\sqrt {\mathrm {A} }}+a{\sqrt {\mathrm {Y} }}}{1-a^{2}y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d2dc03dc97079d75e0b6192c9f8fab4ab937ad)