et il est visible que les Tables à simple entrée, dont on a parlé ci-dessus, se réduiront à une seule, si l’on fait
et alors
et
sont nuls, lorsque
et
sont égaux à l’unité.
La Table à simple entrée, que l’on obtient de cette manière, est une Table de logarithmes,
étant le logarithme de
Les logarithmes sont hyperboliques, si
est égal à l’unité, c’est-à-dire si l’accroissement infiniment petit du logarithme
est égal à celui du nombre
lorsque
est égal à l’unité. Les logarithmes sont ceux que l’on nomme tabulaires, si
est tel que l’on ait
Cette valeur de
offre l’avantage de donner les logarithmes des nombres dix, cent, mille, etc. fois plus grands ou plus petits, en ajoutant ou retranchant de ces logarithmes
ou
ou
Si l’on emploie deux fonctions pour représenter
si, par exemple, on suppose
![{\displaystyle xy=\varphi (\mathrm {X+Y} )-\varphi (\mathrm {X-Y} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6259c7d78944a5a4d13155d6952f43729d506716)
on aura
![{\displaystyle y{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}=x{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}=\varphi ''(\mathrm {X+Y} )-\varphi ''(\mathrm {X-Y} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1dc0014440419f616db44ea2c4b59f5e12a655)
étant égal à
On aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+a^{2}x=&0,\\{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+a^{2}y=&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9273bfbe48fd15f09f6b161ee02bb21cc5fdf665)
étant une constante quelconque. Le cas le plus simple est celui de
nul, et alors on peut supposer
ce qui donne
![{\displaystyle 0=\varphi ''(\mathrm {X+Y} )-\varphi ''(\mathrm {X-Y} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c48319c5c60859f80f3c38396fcd9d70a5f2bb)
Ainsi,
est égal à une constante et, par conséquent,
est de la forme
et
étant des constantes. L’expression précédente de
déterminera ces constantes, et elle donnera
![{\displaystyle xy={\frac {1}{2}}\left[(x+y)^{2}-(x-y)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cdee34461421838fd6d269de8d7b44e39282a6)