en désignant
par
On aura pareillement, en didérentiant par rapport à
![{\displaystyle x{\frac {dy}{d\mathrm {Y} }}=\varphi '\left(\mathrm {X+Y} \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d44838c76d6287a2dd064ee583575809aa5f507)
La comparaison de ces deux équations donne
![{\displaystyle {\frac {dx}{xd\mathrm {X} }}={\frac {dy}{yd\mathrm {Y} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b335c67a4924127f8ada2afe35c158a79eb62865)
le premier membre de cette équation étant fonction de
seul, et le second membre étant fonction de
seul ; il est clair que les deux variables
et
étant indépendantes, chacun de ces membres doit être égal à une même constante que nous indiquerons par
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {dx}{xd\mathrm {X} }}=q={\frac {dy}{yd\mathrm {Y} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c9854f885472da8baff40885de2b618d48823b)
Les intégrales de ces équations sont évidemment
![{\displaystyle x=\mathrm {A} e^{q\mathrm {X} },\qquad y=\mathrm {B} e^{q\mathrm {Y} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f96ead4bd3c661826d0c999f0c6820a491525e6)
et
étant deux constantes arbitraires, car il est visible que l’on a
![{\displaystyle dx=\mathrm {A} e^{q\mathrm {X} }\left(e^{qd\mathrm {X} }-1\right)=x\left(e^{qd\mathrm {X} }-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca306955321ebc6a9c434a0ea0070d628772167)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {dx}{xd\mathrm {X} }}=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbefae07a62e0cbd088e0768f0808fbc1a75ffe)
si l’on a
![{\displaystyle e^{qd\mathrm {X} }-1=qd\mathrm {X} \quad {\text{ou}}\quad e=(1+qd\mathrm {X} )^{\frac {1}{qd\mathrm {X} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e0617bded565d78b76d8c2d0011834e531ad3d)
En développant le second membre en série, par le théorème connu du binôme, et négligeant l’unité, eu égard à
on aura
![{\displaystyle e=2+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+{\frac {1}{1.2.3.4}}+\ldots =2{,}71821\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/534bbd419de1e091383251d1415a5e25f00379ab)
on aura ainsi les trois équations
![{\displaystyle x=\mathrm {A} e^{q\mathrm {X} },\qquad y=\mathrm {B} e^{q\mathrm {Y} },\qquad xy=\mathrm {AB} e^{q(\mathrm {X+Y} )}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ec5ff99968169fd4e8409d156589b63af3a0fd)