on aura
![{\displaystyle {\frac {dx}{\sqrt {1-2\alpha x^{2}+x^{4}}}}-{\frac {dy}{\sqrt {1-2\alpha y^{2}+y^{4}}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75df3dfac38e7ec2d2251ac5c50b0fa822dbc14c)
et en intégrant, on aura l’équation suivante, qui n’est qu’une transformée de l’équation proposée,
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-2\alpha x^{2}+x^{4}}}}-\int {\frac {dy}{\sqrt {1-2\alpha y^{2}+y^{4}}}}=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c40d3fd0a56c07e3255acbc65a0dffd5b285ed0)
Si l’on feit maintenant
la proposée se changera dans l’équation aux différences finies,
![{\displaystyle 0=1-\beta \left(x^{(n+1)^{2}}+x^{(n)^{2}}\right)+2\gamma x^{(n+1)}x^{(n)}+x^{(n+1)^{2}}x^{(n)^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a425686c295e00c77e9652213502b5c13e8c0bb)
et sa transformée deviendra
![{\displaystyle \Delta \int {\frac {dx^{(n)}}{\sqrt {1-2\alpha x^{(n)^{2}}+x^{(n)^{4}}}}}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba96ceaa76348eb0c9c92453291d08ae268ffa7b)
d’où l’on tire, en intégrant aux différences finies,
![{\displaystyle \int {\frac {dx^{(n)}}{\sqrt {1-2\alpha x^{(n)^{2}}+x^{(n)^{4}}}}}=an+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538cbb8c3ce3d0d5040dd5c09961a73974f3d8da)
étant une constante arbitraire, qui est égale à
![{\displaystyle \int {\frac {dx^{(0)}}{\sqrt {1-2\alpha x^{(0)^{2}}+x^{(0)^{4}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d756b3a5ba00cfb24b7d4c3ff3d44b0e2101aa60)
Pour déterminer
nous désignerons par
l’intégrale
![{\displaystyle \int {\frac {dx^{(n)}}{\sqrt {1-2\alpha x^{(n)^{2}}+x^{(n)^{4}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2a519b55f93b3b2e44a9f9fca89674a67a9064)
et
par
nous aurons
![{\displaystyle \psi \left(x^{(n+1)}\right)-\psi \left(x^{(n)}\right)=\psi (q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c74f0b85c1c82af75bca0a217510744f01e093e)
Supposons que
soit nul, lorsque
est nul ; on aura, en faisant
nul,
![{\displaystyle \psi \left(x^{(1)}\right)=\psi (q)\quad {\text{ou}}\quad q=x^{(1)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f90f3db5fa31739bfa5b68e287627e3fdf1331)