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en faisant $t=t^{'3},$ on aura

$k=3\int dt't'^{2}e^{-t'^{4}}\,;$

or on a (page citée des Mémoires de l’Académie des Sciences)

$16\int dte^{-t^{4}}\int dt't'^{2}e^{-t'^{4}}=\pi {\sqrt {2}},$

on aura donc

$k={\frac {3\pi {\sqrt {2}}}{16\int dte^{-t^{4}}}}=0{,}919062.$

On peut encore ici supposer $r=0,$ parce que $\int {\frac {dx\sin x}{x^{\frac {1}{4}}}}$ doit être compris entre $\int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha }}},$ $\alpha$ étant infiniment petit, et $\int {\frac {dx\sin x}{x^{\frac {1}{2}}}}\,;$ on a ainsi

$\int {\frac {dx\sin x}{x^{\frac {1}{4}}}}=1{,}1321,\qquad \int {\frac {dx\cos x}{x^{\frac {1}{4}}}}=0{,}4689.$

Si l’on rassemble ces divers résultats, on en formera le Tableau suivant :

${\begin{array}{lcc}\alpha .&\int {\frac {dx\sin x}{x^{\alpha }}}&\qquad &\int {\frac {dx\cos x}{x^{\alpha }}}.\\0\ldots \ldots \ldots &1{,}0000&&0{,}0000\ \ \\{\frac {1}{4}}\ldots \ldots \ldots &1{,}1321&&0{,}4689\ \ \\{\frac {2}{4}}\ldots \ldots \ldots &1{,}2533&&1{,}2533\ \ \\{\frac {3}{4}}\ldots \ldots \ldots &1{,}3875&&3{,}34963\\{\frac {4}{4}}\ldots \ldots \ldots &1{,}5708&&\infty \\{\frac {5}{4}}\ldots \ldots \ldots &1{,}8756&&\infty \\{\frac {6}{4}}\ldots \ldots \ldots &2{,}2507&&\infty \\{\frac {7}{4}}\ldots \ldots \ldots &4{,}4662&&\infty \\{\frac {8}{4}}\ldots \ldots \ldots &\infty &&\infty \end{array}}$

De là nous pouvons généralement conclure que, dans les équa-