Soit
une fonction de
et supposons que
soit le coefficient de
dans son développement ; soit pareillement
une fonction de
et désignons par
le coefficient de
dans son développement ; soit encore
une fonction de
et désignons par
le coefficient de
dans son développement, et ainsi de suite. Il est clair que
sera le coefficient de
dans le développement de
sera la fonction génératrice de
celle de
sera donc
![{\displaystyle uu'u''\ldots \left({\frac {1}{tt't''\ldots }}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d078cb736e55526475b54db876993e316b1d2976)
et, par conséquent, la fonction génératrice de
sera
![{\displaystyle uu'u''\ldots \left({\frac {1}{tt't''\ldots }}-1\right)^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4875b979ef2420606e65f9386edc97e0a35fa7f0)
en changeant
dans
on aura, par les principes exposés dans les Mémoires cités de l’Académie des Sciences, la fonction génératrice de
étant la caractéristique des intégrales finies ; en sorte que l’on peut changer
en
dans la fonction génératrice, pourvu que l’on change
en
dans son coefficient.
Considérons deux fonctions
et
la fonction génératrice de
sera
![{\displaystyle uu'\left({\frac {1}{tt'}}-1\right)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf9a6e13d2b916e6d31a386dd07dad856422f11)
On peut la mettre sous cette forme :
![{\displaystyle uu'\left[{\frac {1}{t}}-1+{\frac {1}{t}}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\right]^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0005e96bf7554e9097ca86665b3fcde43233ea78)
En la développant, elle devient
![{\displaystyle uu'\left[\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}+{\frac {n}{t}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287ab1cbb3f9e77a7be8069d8b81247269ef5b05)
![{\displaystyle \left.+{\frac {n(n-1)}{1.2t^{2}}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-2}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{2}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f95512c5992bf6dd7a5f2c30f4510418d776639)
Les fonctions
![{\displaystyle uu'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n},\ \ {\frac {uu'}{t}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right),\ \ {\frac {uu'}{t^{2}}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-2}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)^{2},\ \ \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63752e90bc193aaac8607e9552566039fae7608a)