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mémoire

sur

divers points d’analyse.

Journal de l’École Polytechnique, XV^e Cahier, Tome VIII ; 1809.

I.

Sur le calcul des fonctions génératrices.

L’objet de ce calcul est de ramener au simple développement des fonctions toutes les opérations relatives aux différences, et spécialement l’intégration des équations aux différences ordinaires ou partielles : en voici l’idée principale. Soit $u$ une fonction quelconque de $t,$ et supposons qu’en la développant par rapport aux puissances de $t,$ on ait

u=y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{x}t^{x}+\ldots +y_{\infty }t^{\infty }\,;

$u$ est ce que l’on nomme fonction génératrice de $y_{x}$ ou du coefficient de $t^{x}$ dans son développement. Il est visible que $y_{x+1}-y_{x},$ ou $\Delta y_{x},$ sera le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)\,;$ en sorte que, pour avoir la fonction génératrice de la différence finie d’une variable, il suffit de multiplier par ${\frac {1}{t}}-1$ la fonction génératrice de cette variable ; $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}$ sera donc la fonction génératrice de $\Delta ^{2}y_{x},$ et, généralement, la fonction génératrice de $\Delta ^{n}y_{x},$ sera $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}.$ Maintenant on a

u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}=u\left[{\frac {1}{t^{n}}}-{\frac {n}{t^{n-1}}}+{\frac {n(n-1)}{1.2t^{n-2}}}-\ldots \right]\,;