qui précède, ses rayons de courbure et la nature de sa développée exprimée par une équation algébrique ; on aura donc ainsi une infinité de courbes algébriques rectifiables, c’est-à-dire telles que l’on pourra déterminer une ligne droite de même longueur qu’une portion quelconque de leur circonférence.
Aux points multiples d’une courbe plusieurs de ses branches se rencontrent, et l’on a plusieurs valeurs de correspondant à la même valeur de ainsi, en changeant, dans l’équation de la courbe proposée, dans et dans et en développant cette équation en série, les termes indépendants de et de disparaîtront par la nature de cette équation ; et, dans le cas d’un point double, les coefficients de et de seront nuls, soit par eux-mêmes, soit en vertu de la même équation. Dans le cas d’un point triple, ces coefficients et ceux de et seront nuls, et ainsi de suite ; ce qui déterminera les valeurs de et de correspondant à ces points.
Pour avoir les points où est un maximum ou un minimum, on observera que l’expression de l’ordonnée correspondant à est
et que l’ordonnée correspondant à est
Or, pouvant être supposé aussi petit que l’on veut, le terme s’il n’est pas nul, peut être tel qu’il surpasse la somme des termes
l’ordonnée ne serait donc pas à la fois plus grande que les deux ordonnées voisines correspondant à et à ainsi, dans le cas du maximum ou du minimum, on doit avoir
et cette équation, combinée avec l’équation de la courbe proposée, déterminera les valeurs de et de correspondant à ces points.
