On aura donc ainsi la position et la grandeur de la circonférence osculatrice à un point quelconque de la courbe proposée. Les centres de ces diverses circonférences formeront, par leur continuité, une nouvelle courbe dont les coordonnées seront et or on peut, au moyen des expressions précédentes de et de en et déterminer et en fonctions de et de en substituant donc ces valeurs dans l’équation de la courbe proposée, on aura une équation entre et qui sera celle de la nouvelle courbe. Pour en concevoir la nature, imaginons que, d’un point quelconque et avec un rayon quelconque on décrive un très petit arc de cercle ; que l’on prolonge le rayon extrême de ce petit arc, de manière à former un second rayon et qu’avec ce rayon on décrive un nouvel arc ; que l’on prolonge encore le rayon extrême de cet arc, de manière à former un troisième rayon avec lequel on décrira un troisième arc, et ainsi de suite ; on formera une série d’arcs de cercle qui se toucheront par leurs extrémités, et dont les centres seront les sommets des angles d’un polygone qui aura pour côtés les différences Si l’on imagine ce polygone enveloppé d’un fil tel que sa partie extrême soit dirigée suivant le premier côté du polygone et s’étende de la quantité au delà de ce polygone ; en développant ce fil de dessus le polygone, il décrira la suite des arcs que nous venons de considérer. Maintenant, plus les arcs seront petits plus leur suite approchera d’une courbe continue dont ils seront les arcs osculateurs, et plus le polygone approchera de la courbe formée par les centres des circonférences osculatrices : les deux courbes sont donc les limites des suites des arcs et des polygones, et tout ce qui a constamment lieu dans ces suites a lieu également pour ces courbes. Ainsi l’on peut concevoir une courbe quelconque comme étant formée par le développement d’un fil qui enveloppe la courbe formée par les centres de ses cercles osculateurs. On nomme cette dernière courbe développée ; la première se nomme développante. On voit par là qu’un arc quelconque de la développée est égal à la différence des deux rayons de courbure de la développante correspondant aux deux extrémités de cet arc ; or, la développante étant une courbe algébrique, on a, par ce
