la probabilité de la valeur de
correspondant à l’ensemble de toutes les valeurs de
et cette exponentielle sera proportionnelle à
![{\displaystyle c^{{\frac {-33{\overline {k}}}{4{\overline {k''}}}}{\frac {4}{5}}z^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1bd8a63d13cd3ffa8af3cf1a562361e6052f44)
En faisant donc
![{\displaystyle h^{2}={\frac {33{\overline {k}}}{4{\overline {k''}}}}{\frac {4}{5}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23f93172a21294a1290f4f3c8bb26892e5e884f)
la probabilité que la valeur de
sera comprise dans des limites données est
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int hdzc^{-h^{2}z^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e1fa1cf26f756b4d6c7801495c546f7e869b7c)
l’intégrale étant prise dans ces limites. Par les observations précédentes,
est égale à
ou à
ainsi la probabilité que
est au-dessous de
est
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0{,}177h}^{\infty }dtc^{-t^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcf4569cf8a88d6273820f14c7afa4228823709)
On a, par le no 44 de ma Théorie analytique des probabilités[1],
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\mathrm {T} }^{\infty }dtc^{-t^{2}}={\frac {c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{2\mathrm {T} {\sqrt {\pi }}}}\left(1-\mathrm {{\frac {1}{2T^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}T^{4}}}-{\frac {1.3.5}{2^{3}T^{6}}}} +\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb5078f8ca6df1465d664309e8fc56c04ed249b)
et la série a l’avantage de donner une valeur alternativement plus grande et plus petite, suivant que l’on s’arrête à un nombre pair ou impair de ses termes.
Si l’on fait
la série
peut être mise sous la forme suivante de fraction continue
![{\displaystyle {\frac {1}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {2q}{1+{\cfrac {3q}{1+{\cfrac {4q}{1+\ldots }}}}}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04880feb1ef15bc1793b8563bb2c8f9a9c4e6ff)
- ↑ Œuvres de Laplace, T. VII, p. 178.