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L’intégrale de cette dernière équation dépend, comme on sait, de la rectification des sections coniques.

Ayant ainsi $\varpi$ et $\Pi '$ en fonction de $v$> ou du temps, on aura, par le numéro cité, $\lambda$ et $\Pi ,$ au moyen des équations

$\cos \lambda =\cos(\mathrm {A} -\theta )\cos \varpi -\sin(\mathrm {A} -\theta )\sin \varpi \cos \Pi ',$

$\sin \mathrm {A} \sin \lambda \cos \Pi +\cos \mathrm {A} \cos \lambda =\cos \theta \cos \varpi +\sin \theta \sin \varpi \cos \Pi ',$

car les deux membres de cette dernière équation sont, par ce qui précède et par le numéro cité, les expressions de $\cos \gamma .$

Je vais maintenant parvenir d’une autre manière aux équations (1) et (2). Je reprends pour cela les équations (5) et (6) du n^o 2 du Livre XV de la Mécanique céleste ^[1]. En y changeant $\gamma$ en $\lambda ,$ et en négligeant le carré de l’excentricité de l’orbite du satellite, elles deviennent

${\frac {d\lambda }{dt}}={\frac {a{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }}}{\sin \lambda }},\qquad {\frac {d\theta }{dt}}=-{\frac {a{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial \lambda }}}{\sin \lambda }},$

$t$ étant le moyen mouvement du satellite et $\theta$ la longitude de son nœud ascendant sur l’orbite de Saturne, comptée d’un point fixe. La fonction $\mathrm {R}$ est ce que j’ai désigné par cette lettre dans le n^o 35 du Livre VIII de la Mécanique céleste ; et il résulte de l’expression que j’ai donnée de sa valeur, qu’en négligeant les quantités périodiques dépendant des sinus et cosinus des moyens mouvements de Saturne et du satellite, on a

$aR={\frac {1}{8}}m^{2}-{\frac {k}{2}}\cos ^{2}\lambda +k'\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$

$\mu$ étant le sinus de la latitude du satellite, au-dessus de l’équateur de Saturne. On a

$\mu =\sin \gamma \sin(v-\psi ),$

$v$ étant l’arc de l’orbite du satellite, compris entre ce satellite et l’orbite de Saturne, ce qui donne, en négligeant les inégalités périodiques

1. Œuvres de Laplace, T. V, p. 370.