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$\gamma$ l’inclinaison mutuelle de cet équateur et de l’orbite du satellite ;

$\lambda$ l’inclinaison de l’orbite du satellite à l’orbite de Saturne ;

$\mathrm {A}$ l’inclinaison de l’équateur de Saturne à son orbite.

Si l’on désigne par $k$ la quantité ${\frac {3}{4}}m^{2},$ $mt$ étant le moyen mouvement de Saturne, et $t$ exprimant le temps représenté par le moyen mouvement du satellite dont le mouvement vrai est exprimé par $v\,;$ si l’on désigne encore par $k'$ la quantité

${\frac {\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{a^{2}}}\mathrm {M} ,$

$a$ étant la moyenne distance du satellite au centre du sphéroïde de Saturne dont le rayon moyen est pris pour unité ; $\rho$ étant l’ellipticité de ce sphéroïde ; $\mathrm {M}$ sa masse et $\varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à son équateur ; je suis parvenu, dans la page citée, aux deux équations suivantes, en ne considérant que les actions du Soleil et de Saturne sur le satellite dont l’orbite est supposée circulaire :

(1)

${\frac {d\lambda }{dv}}=-k'\sin \gamma \cos \gamma \sin \psi ,$

(2)

${\frac {d\Pi }{dv}}=k\cos \lambda -{\frac {k'\sin \gamma \cos \gamma }{\sin \lambda }}\cos \psi .$

En considérant le triangle sphérique formé par les positions, sur la sphère céleste, des trois nœuds dont je viens de parler, observés du centre de Saturne, les formules trigonométriques donnent

$\sin \gamma \sin \psi =\sin \mathrm {A} \sin \Pi ,$

$\cos \gamma =\sin \mathrm {A} \sin \lambda \cos \Pi +\cos \mathrm {A} \cos \lambda ,$

ce qui donne

(3)

${\frac {d\lambda }{dv}}=-k'\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {A} \cos \lambda \sin \Pi -{\frac {1}{2}}k'\sin ^{2}\mathrm {A} \sin \lambda \sin 2\Pi .$

Ensuite les formules trigonométriques donnent

$\sin \gamma \cos \psi =\sin \mathrm {A} \cos \lambda \cos \Pi -\cos \mathrm {A} \sin \lambda \,;$

on a donc

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\Pi }{dv}}=&k\cos \lambda -k'{\frac {(\sin \mathrm {A} \sin \lambda \cos \Pi +\cos \mathrm {A} \cos \lambda )}{\sin \lambda }}\\&\times (\sin \mathrm {A} \cos \lambda \cos \Pi -\cos \mathrm {A} \sin \lambda ).\end{aligned}}\right.$