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Cette rectification nous dispense de corriger les coefficients $-10''{,}6998,$$-10''{,}555$ et $-12''{,}8932,$ qui sont également inexacts.

Sur la valeur

$\zeta '=-2931''\sin(5n't-2nt)-223''\cos(5n't-2nt),$

employée par Laplace, voici la remarque de Plana, Mémoire cité, page 7 :

« Laplace, dans la page 243 de la Connaissance des Temps pour l’année 1829, fait

$\zeta '=-2931''\sin(5n't-2nt)-223''\cos(5n't-2nt),$

ce qui revient à réduire en secondes sexagésimales le résultat qu’il avait donné dans la page 140 du troisième Volume de la Mécanique céleste. Mais cela n’est pas exact. Car : 1^o on doit appliquer à ces nombres la correction dont il est parlé dans les pages 23 et 24 du premier Supplément à la Mécanique céleste, publié en 1808 ^[1]  ; 2^o on doit, pour se conformer à l’esprit de la démonstration par laquelle on arrive à l’équation

$m{\sqrt {a}}\delta \zeta +m'{\sqrt {a'}}\delta \zeta '+(m-m')m'{\sqrt {a'}}\zeta '=0,$

exclure de la valeur totale de $\zeta '$ la partie $\delta \zeta ',$ qui est de l’ordre du carré de la force perturbatrice. Et comme il est démontré maintenant que les nombres (en division centésimale),

$-11''{,}779432\sin(5n't-2nt)+132''{,}4701\cos(5n't-2nt),$

donnés dans la même page 140, doivent être pris avec un signe contraire, on sent qu’il n’est pas permis de négliger ces deux corrections. D’après ces motifs, j’ai formé la valeur de $\zeta '$ que j’emploie ici en posant (division centésimale)

${\begin{aligned}\zeta '=-{\frac {m}{m'}}{\sqrt {\frac {a}{a'}}}{\frac {3354{,}40}{3512}}&\left[(3900''{,}616-38''{,}692)\sin(5n't-2nt)\right.\\&\quad \left.+(368''{,}910+25''{,}065)\cos(5n't-2nt)\right]\end{aligned}}$

(voir p. 127 et 129 du troisième Volume de la Mécanique céleste) et faisant ensuite la réduction on secondes sexagésimales. »

Le calcul de la grande inégalité de Jupiter et Saturne a suscité de nombreuses recherches ; nous mentionnerons seulement, en dehors des Mémoires déjà cités, parmi ceux qui se rapportent plus directement au travail précédent de Laplace :

Plana, Sur le Mémoire de Laplace intitulé : Sur les deux grandes inégalités de Jupiter et Saturne (Mémoires de l’Académie de Turin, t. XXXI, 1827).

Poisson, Sur les inégalités à longues périodes résidant de l’action mutuelle de Saturne et Jupiter (Connaissance des Temps pour les années 1831 et 1832).

1. Œuvres de Laplace, T. III.