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Cela posé, les valeurs elliptiques de $x$ et de $x'$ peuvent être mises sous cette forme

${\begin{aligned}x\ =&\mathrm {A\ +B} \ \cos \left(\int n\ dt+\varepsilon \ +\mathrm {L} \ \right)+\ldots ,\\x'=&\mathrm {A'+B'} \cos \left(\int n'dt+\varepsilon '+\mathrm {L} '\right)+\ldots ,\\\end{aligned}}$

$\mathrm {A,B,L,\ldots ,A',B',L'} ,$ étant fonctions des éléments des orbites ; on aura donc par ce qui précède

${\begin{aligned}dx\ =&-\mathrm {B} \ n\ dt\sin \left(\int n\ dt+\varepsilon \ +\mathrm {L} \ \right)-\ldots ,\\dx'=&-\mathrm {B} 'n'dt\sin \left(\int n'dt+\varepsilon '+\mathrm {L} '\right)-\ldots .\end{aligned}}$

Le produit $dxdx'$ ne renfermera donc que des quantités périodiques de la forme

$\mathrm {H} \cos(i\int ndt+i'\int n'dt+\mathrm {E} ),$

$\mathrm {H}$ et $\mathrm {E}$ étant fonctions des éléments. Il est facile de voir, par le Supplément cité, qu’en considérant les éléments comme variables, leurs variations correspondant aux deux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne ont le même argument que ces inégalités, savoir $5n't-2nt$ ou $5\int n'dt-2\int ndt$ et elles ont $5n'-2n$ pour diviseur. En les substituant dans la quantité précédente, il en résultera des termes qui auront ce même diviseur ; mais il est visible qu’ils n’auront point le même argument, à moins que $i'$ ne soit égal à $10$ et $i$ égal à $-4\,;$ mais, dans ce cas, $\mathrm {H}$ est très petit de l’ordre $e^{6},$ ce qui rend sa considération inutile. On voit ainsi que la fonction

$-mm'{\frac {dxdx'+dydy'+dzdz'}{dt^{2}}}$

ne renferme point de termes des ordres $m^{2}$ et $m^{3},$ qui aient pour argument $5n't-2nt,$ et pour diviseur $5n'-2n.$

Cependant cette fonction contient un terme de la forme

$\mathrm {H} '\cos(5n't-2nt+\mathrm {A} ),$

$\mathrm {H} '$ étant fonction des éléments. En y substituant la partie des variations