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ce développement, substituer pour $x,y,x',y',\ldots$ leurs valeurs augmentées des quantités dues aux forces perturbatrices, ce qui donnera des termes de l’ordre $m^{3}.$ On peut obtenir ces termes d’une manière fort simple, en considérant les orbites comme des ellipses variables. Pour cela, je vais rappeler ici quelques résultats exposés dans le Supplément ^[1] au Traité de la Mécanique céleste, et dans le deuxième Livre ^[2].

En exprimant par $\int ndt+\varepsilon$ la longitude moyenne de Jupiter, $\varepsilon$ sera l’élément que l’on nomme époque de la longitude moyenne. Soient $a$ le demi-grand axe de son ellipse, $e$ l’excentricité, $\varpi$ la longitude du périhélie, $\gamma$ l’inclinaison de l’ellipse à un plan fixe, et $\theta$ la longitude du nœud. Marquons d’un trait, pour Saturne, les lettres $n,\varepsilon ,a,e,\varpi ,\gamma$ et $\theta .$ Les quantités $a,n,a'$ et $n'$ seront, par le n^o 23 du deuxième Livre, liées entre elles par les deux équations

$n^{2}a^{\frac {3}{2}}=\mathrm {M} +m,\qquad n'^{2}a'^{\frac {3}{2}}=\mathrm {M} +m',$

et l’on aura, par le n^o 64 du même Livre,

$d{\frac {\mathrm {M} +m}{a}}=2d\mathrm {R} ,\qquad d{\frac {\mathrm {M} +m'}{a'}}=2d'\mathrm {R} '.$

$\mathrm {V}$ étant une fonction des coordonnées $x,y,z,x',y',z'$ des deux ellipses, on peut la différentier une première fois en n’y faisant varier que le temps $t,$ et en y regardant les éléments comme constants, ce qui donnera, lorsqu’on aura substitué dans $\mathrm {V} ,$ au lieu de $x,y,z,x',y',z',$ leurs valeurs elliptiques, et faisant

$\int ndt+\varepsilon =\mathrm {L} ,\qquad \int n'dt+\varepsilon '=\mathrm {L} ',$

on a ensuite

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a}}da\ +{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \mathrm {L} }}\ d\varepsilon \ +{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial e}}\,de\ +{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varpi }}\ d\varpi \ +{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \gamma }}\ d\gamma \ +{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \theta }}\ d\theta ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a'}}da'+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \mathrm {L} '}}d\varepsilon '+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial e'}}de'+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varpi '}}d\varpi '+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \gamma '}}d\gamma '+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \theta '}}d\theta '.\end{aligned}}$

1. Œuvres de Laplace, T. III, p. 325.
2. Id., T. I, Chap. VIII, p. 346.