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La force qui sollicite la molécule $\mathrm {A}$ dans le sens des $x$ sera donc

$4\pi \mathrm {NQ} (\rho ){\frac {\partial ^{2}x}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}c^{2}(1-{\text{ϐ}}).$

Il résulte de l’analyse que j’ai donnée dans la Connaissance des Temps de 1824, que $\mathrm {P}$ étant la pression de l’atmosphère, on a, dans l’état d’équilibre,

$\mathrm {P} =2\pi \mathrm {NQ} (\rho )^{2}c^{2}\,;$

en égalant donc la force précédente à ${\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}},$ $\partial t$ étant l’élément du temps, on aura

${\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}={\frac {2\mathrm {P} }{(\rho )}}(1-{\text{ϐ}}){\frac {\partial ^{2}x}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}\,;$

ainsi la vitesse du son ou l’espace qu’il parcourt dans une seconde étant, comme l’on sait, et comme il est facile de le conclure de l’intégrale de cette équation aux différences partielles, la racine carrée du coefficient de ${\frac {\partial ^{2}x}{\partial \mathrm {X} ^{2}}},$ cette vitesse sera

${\sqrt {{\frac {2\mathrm {P} }{(\rho )}}(1-{\text{ϐ}})}}.$

Soient $h$ la hauteur d’une atmosphère de la densité $(\rho ),$ et $\varepsilon$ la hauteur dont la pesanteur fait tomber les corps dans une seconde, cette vitesse devient

${\sqrt {4h\varepsilon (1-{\text{ϐ}})}}.$

Les géomètres, en étendant ces principes et cette analyse au cas où l’air à trois dimensions, trouveront facilement que, dans ce cas, la vitesse du son à la même expression.

La formule de Newton donne ${\sqrt {2h\varepsilon }}$ pour l’expression de cette vitesse, et en partant des valeurs connues de $\varepsilon$ et de $h,$ elle serait de $282^{\mathrm {m} }{,}4$ à la température de $6^{\circ }$ centésimaux. L’expérience a donné, à la même température, $337^{\mathrm {m} }{,}2$ aux académiciens français. Il est donc bien certain que la formule de Newton donne un résultat trop faible. Si la