Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 13.djvu/288

Dans cette fonction, $\pi$ est le rapport de la circonférence au diamètre ; $\psi (r)$ est $\int rdr\varphi _{1}(r),$ et $\varphi _{1}(r)$ est $\int dr\varphi (r),$ $\varphi (r)$ exprimant la loi de l’attraction. Enfin, l’attraction de la couche est supposée dirigée vers son centre.

Désignons $\int dr\psi (r)$ par $\psi {\underset {'}{(}}r)\,;$ $\int dr\psi {\underset {'}{\,}}(r)$ par $\int dr\psi {\underset {''}{\,}}(r),$ et ainsi de suite. La fonction précédente multipliée par $du,$ et intégrée depuis $u=0$ jusqu’à $u=\mathrm {R} ,$ $\mathrm {R}$ étant le rayon de la sphère, devient

${\frac {2\pi }{r}}\left\{\mathrm {R} \left[\psi {\underset {'}{\,}}(r+\mathrm {R} )+\psi {\underset {'}{\,}}(r-\mathrm {R} )\right]-\psi {\underset {''}{\,}}(r+\mathrm {R} )+\psi {\underset {''}{\,}}(r-\mathrm {R} )\right\},$

ou

${\frac {2\pi \mathrm {R} ^{2}}{r}}{\frac {\partial }{\partial \mathrm {R} }}{\frac {\psi {\underset {''}{\,}}(r+\mathrm {R} )-\psi {\underset {''}{\,}}(r-\mathrm {R} )}{\mathrm {R} }}.$

La différentielle de cette fonction, prise par rapport à $r$ et divisée par $dr,$ donne, pour l’attraction d’une sphère de la densité $\rho ,$

(A)

$2\pi \rho \mathrm {R} ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r\partial \mathrm {R} }}{\frac {\psi {\underset {''}{\,}}(r+\mathrm {R} )-\psi {\underset {''}{\,}}(r-\mathrm {R} )}{r\mathrm {R} }}.$

Si l’on suppose la loi d’attraction $\varphi (r)$ égale à $r^{-2-\alpha },$ cette formule devient, en désignant par $\mathrm {M}$ la masse de la sphère,

(B)

${\frac {3\mathrm {M} }{2r^{2}\mathrm {R} ^{3}}}{\frac {(r+\mathrm {R} )^{3-\alpha }-(r-\mathrm {R} )^{3-\alpha }-(3-\alpha )\left[(r+\mathrm {R} )^{1-\alpha }+(r-\mathrm {R} )^{1-\alpha }\right]\mathrm {R} r}{(1+\alpha )(1-\alpha )(3-\alpha )}}.$

Si le point attiré est à la surface, on a $r=\mathrm {R} ,$ et cette fonction devient

${\frac {\mathrm {M} 2^{-\alpha }\mathrm {R} ^{-2-\alpha }}{(1-\alpha )(1-{\frac {1}{3}}\alpha )}}.$

À une grande distance $r,$ la même fonction devient $\mathrm {M} r^{-2-\alpha }\,;$ ce n’est donc que dans les deux cas de $\alpha =0$ et de $\alpha =-3$ que l’attraction à la surface de la sphère est à l’attraction à une grande distance dans le rapport donné par la loi de l’attraction, c’est-à-dire dans le rapport de $\mathrm {R} ^{-2-\alpha }$ à $r^{-2-\alpha }.$

Lorsque Newton voulut reconnaître l’identité de la force qui retient la Lune dans son orbite avec la pesanteur, il supposa que la pesanteur d’un corps qui s’élève successivement de la surface de la Terre diminue