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En exprimant chaque observation par une fonction linéaire de ces données, on aura plus d’équations que de données inconnues ; alors, suivant un procédé bien connu, on multipliera respectivement chaque équation par le coefficient de la première inconnue. En ajoutant ces produits, on formera une première équation finale. En traitant de la même manière la seconde inconnue, on formera une seconde équation finale, et ainsi de suite. En résolvant ces équations, on aura les données avec une précision d’autant plus grande que l’on aura fait concourir plus d’observations. C’est un avantage propre à cette méthode.

Au moyen de ces données, la méthode conduit, dans le cas ordinaire du mouvement parabolique, aux équations (1), (2), (3, (4) de la page 224 du premier Volume de la Mécanique céleste ^[1], qui déterminent le rayon vecteur de la Comète, sa distance à la Terre, projetée sur l’écliptique, et la différentielle de cette distance, divisée par l’élément du temps. En désignant par y ce quotient, les équations(2) et(3) donnent deux expressions de $y,$ entre lesquelles on peut choisir. Les erreurs des observations étant principalement sensibles sur les différences secondes des mouvements en longitude et en latitude, j’ai prescrit, dans la page citée, d’employer celle des deux expressions de $y$ qui dépend de la plus grande différence. Mais depuis cette époque, m’étant beaucoup occupé des milieux qu’il faut choisir entre les résultats des observations, j’ai reconnu qu’il y a de l’avantage à faire concourir les deux valeurs de $y\,;$ et en appliquant à cet objet les méthodes que j’ai données pour obtenir les résultats les plus avantageux, j’ai trouvé qu’il fallait multiplier l’équation (2) par le carré de $a,$ l’ajouter à l’équation (3), multipliée par le carré de $h,$ et diviser leur somme par $a^{2}+h^{2}\,;$ ce qui donne l’expression de $y$ qu’il faut combiner avec les équations (1) et (4) conformément à la méthode dont il s’agit.

Cette méthode donne la distance périhélie et l’instant du passage par le périhélie. Ensuite, on corrige ces deux éléments approchés, au moyen de trois observations choisies, sans avoir besoin des autres éléments de l’orbite, ce qui simplifie beaucoup le calcul. Pour cela, on

1. Œuvres de Laplace, T. I, p. 227-228.