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on a (Connaissance des Temps de 1823, p. 235)

${\begin{aligned}\delta u=&-{\frac {9}{4}}e\gamma ^{2}{\frac {\mathrm {H} \sin(3fv-2gv-cv)}{3f-2g-c}}-{\frac {3\gamma ^{2}}{4}}{\frac {\mathrm {H} \sin(3fv-2gv)}{3f-2g-c}},\\\delta s=&{\frac {3}{2}}e\gamma {\frac {\mathrm {H} \cos(3fv-2gv-cv)}{3f-2g-c}}.\end{aligned}}$

En substituant ensuite, pour $s,$ $\gamma \sin gv,$ et pour $u$ sa valeur fort approchée, $1+e\cos cv,$ on trouve

${\frac {m^{2}}{2}}\left(-{\frac {\delta u}{u^{5}}}+{\frac {s\delta s}{u^{4}}}\right)=-{\frac {3m^{2}}{16}}{\frac {e\gamma ^{2}\mathrm {H} \sin(3fv-2gv-cv)}{3f-2g-c}}.$

Pour avoir égard aux termes de l’ordre $m^{3},$ il faut considérer la fonction

${\frac {3m^{2}}{2}}dv\cos(2v-2mv)\left(-{\frac {\delta u}{u^{5}}}+{\frac {s\delta s}{u^{4}}}\right).$

On doit supposer ici

${\begin{aligned}u=&1+e\cos cv+\mathrm {A} _{1}^{(1)}e\cos(2v-2mv-cv),\\s=&\gamma \sin gv+\mathrm {B} _{1}^{(0)}\gamma \sin(2v-2mv-gv).\end{aligned}}$

La fonction précédente donne ainsi le terme suivant

$-{\frac {3m^{2}}{16}}dv\left({\frac {15}{2}}\mathrm {A} _{1}^{(1)}-3\mathrm {B} _{1}^{(0)}\right)e\gamma ^{2}{\frac {\mathrm {H} \sin(3fv-2gv-cv)}{3f-2g-c}}.$

En réunissant tous ces termes, l’expression précédente de $d\delta v$ devient

$d\delta v=-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}$

$+e\gamma ^{2}\mathrm {H} dv\left[9-{\frac {3m^{2}\left(1+{\frac {15}{2}}\mathrm {A} _{1}^{(1)}-3\mathrm {B} _{1}^{(0)}\right)}{16(3f-2g-c)}}\right]\sin(3fv-2gv-cv)\,;$

dans le premier membre de cette équation, $v$ se rappor(e à l’orbe lunaire. Pour le rapporter, comme dans le second membre, à l’écliptique, il faut, par le Chapitre II du Livre VII de la Mécanique céleste, lui ajouter ce que produit la fonction

$\left({\frac {1}{2}}s^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {ds^{2}}{dv^{2}}}\right)dv$