Si l’on ne fait porter la caractéristique
que sur les termes dépendant de
et si l’on néglige les termes de l’ordre
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=&4\delta .r^{2}\mathrm {Q} '+{\frac {8\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\\\delta \mathrm {R} =&\delta .r^{2}\mathrm {Q} '-{\frac {\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e667c64ba55901cc3f6042bc6d06ecf61ea4534)
Mais en n’ayant égard qu’à l’inégalité à longue période dont l’argument est
on a, par ce qui précède,
ce qui donne
![{\displaystyle i\delta .r^{2}\mathrm {Q} '={\frac {\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6392375281aab4d66831e9344fe37e8140eccf)
on a donc
![{\displaystyle 2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}={\frac {12\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a4a403bc2ef77dade253e71c7261f839e870ce)
la formule
de l’article II devient ainsi
![{\displaystyle d\delta v=-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}+dt\left[{\frac {12\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-2r\mathrm {Q} '\delta r\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ce501653f17ee657a7c5315d0904e6ca784e8a)
En faisant
on peut substituer
pour
On a ensuite
![{\displaystyle r={\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{u}},\qquad u={\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos cv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009958fbb55b8a697135830f2a749e34332ac766)
le terme
![{\displaystyle {\frac {12\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c483fb2b9fc221e33db63c1251299411679fde)
donne celui-ci,
![{\displaystyle 9e\gamma ^{2}dv\mathrm {H} \sin(3fv-2gv-cv),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44ea758b5499f10cda92bf4d6789b80f39fe73e)
étant
et
étant à fort peu près
On trouvera facilement
![{\displaystyle -2\mathrm {Q} 'dtr\delta r={\frac {m^{2}}{2}}\left[1+3\cos(2v-2mv)\right]\left(-{\frac {\delta u}{u^{2}}}+{\frac {s\delta s}{u}}\right){\frac {dv}{u^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a93902a2f6484f097d2139c52e05f43063c37a6)