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Si l’on ne fait porter la caractéristique $\delta$ que sur les termes dépendant de $\mathrm {H} ,$ et si l’on néglige les termes de l’ordre $\mathrm {H} ^{2},$ on aura

${\begin{aligned}2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=&4\delta .r^{2}\mathrm {Q} '+{\frac {8\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\\\delta \mathrm {R} =&\delta .r^{2}\mathrm {Q} '-{\frac {\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}$

Mais en n’ayant égard qu’à l’inégalité à longue période dont l’argument est $3fv-2gv-cv,$ on a, par ce qui précède, $\delta \mathrm {R} =0,$ ce qui donne

$i\delta .r^{2}\mathrm {Q} '={\frac {\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

on a donc

$2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}={\frac {12\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

la formule $(a)$ de l’article II devient ainsi

$d\delta v=-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}+dt\left[{\frac {12\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-2r\mathrm {Q} '\delta r\right].$

En faisant $a=1,$ on peut substituer ${\frac {dv}{u^{2}}}$ pour $dt.$ On a ensuite

$r={\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{u}},\qquad u={\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos cv\,;$

le terme

${\frac {12\mathrm {H} \sin 3fv}{r^{4}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

donne celui-ci,

$9e\gamma ^{2}dv\mathrm {H} \sin(3fv-2gv-cv),$

$s$ étant $\gamma \sin gv,$ et $u$ étant à fort peu près ${\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos cv.$ On trouvera facilement

$-2\mathrm {Q} 'dtr\delta r={\frac {m^{2}}{2}}\left[1+3\cos(2v-2mv)\right]\left(-{\frac {\delta u}{u^{2}}}+{\frac {s\delta s}{u}}\right){\frac {dv}{u^{3}}}\,;$