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précède,

$2\delta \int d\mathrm {R} +\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=2\delta \mathrm {R} -3\mathrm {X} +2\delta .r^{2}\mathrm {Q} '\,;$

mais on a

$\delta \mathrm {R} =\mathrm {X} +\delta .r^{2}\mathrm {Q} \,;$

on a donc, en observant que $\delta \mathrm {R}$ doit être supposé nul,

$2\delta \int d\mathrm {R} +\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=-5\mathrm {\,} ;$

l’équation différentielle en $\delta r$ donnera ainsi

$\delta r=5\mathrm {X} .$

En négligeant donc les quantités des ordres $e^{2}$ et $m^{2},$ et observant que $\mathrm {Q} '$ a pour facteur $m^{2},$ on aura

$d\delta v=-10dv\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\mathrm {D} ^{2}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda \cos(gv-fv).$

Cette valeur de $d\delta v$ est relative à l’orbite. Pour la rapporter à l’écliptique il faut, par le Chapitre II du Livre VII, lui ajouter la fonction

$dv\left(s\delta s-{\frac {dsd\delta s}{dv^{2}}}\right).$

En substituant, pour $s,$ $\gamma \sin gv,$ et pour $\delta s$ sa valeur approchée aux quantités près de l’ordre $m^{2},$ $-{\frac {\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right)}{g-1}}{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda \sin fv,$ on aura

$dv\left(s\delta s-{\frac {dsd\delta s}{dv^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}dv\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right)\sin \lambda \cos \lambda {\frac {\mathrm {D} ^{2}}{a^{2}}}\gamma \cos(gv-fv),$

ce qui donne

$d\delta v=-{\frac {19}{2}}dv\left(\alpha \rho -{\frac {1}{2}}\alpha \varphi \right){\frac {\mathrm {D} ^{2}}{a^{2}}}\sin \lambda \cos \lambda \gamma \cos(gv-fv),$

la valeur de $d\delta v$ se rapportant ici à l’écliptique, ainsi que les valeurs