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les intégrations. Dans l’inégalité précédente, ce coefficient est de l’ordre $e^{2}\gamma ^{2},$ ou du quatrième ordre ; il sera donc du même ordre dans l’expression de la longitude. Tout ce raisonnement est si simple que j’ai dû l’abandonner à l’intelligence du lecteur.

III.

De l’inégalité lunaire dépendant de la distance angulaire des périgées
du Soleil et de la Lune.

J’ai déterminé cette inégalité par la méthode précédente et par c(dle de la variation des éléments. Je suis parvenu au même résultat par ces deux méthodes ; mais, pour donner une application de la seconde, je vais déterminer, en la suivant, la valeur de l’inégalité dont il s’agit. En conservant toujours les dénominations du Livre VII de la Mécanique céleste, la partie de $\mathrm {Q}$ dont cette inégalité dépend est, par le n^o 3 de ce Livre,

${\frac {m'u'^{4}}{8u^{3}}}\left[3\cos(v-v')+5\cos(3v-3v')\right].$

En faisant donc toujours $a=1,$ la partie correspondante de $\mathrm {R}$ est

$-{\frac {m^{2}}{8a'}}{\frac {r^{3}}{\left({\cfrac {r'}{a'}}\right)^{4}}}\left[3\cos(v-v')+5\cos(3v-3v')\right].$

Considérons d’abord le premier de ces deux termes. En y substituant $1-e\cos(t-\varpi )$ au lieu de $r,$ $t+2e\sin(t-\varpi )$ au lieu de $v,$ $1-e'\cos(mt-\varpi ')$ au lieu de ${\frac {r'}{a'}},$ et $mt+2e'\sin(mt-\varpi )$ au lieu de $v',$ on aura dans $\mathrm {R}$ le terme

${\frac {15}{16}}m^{2}{\frac {1}{a'}}ee'\cos(\varpi -\varpi ').$

Pour porter l’approximation jusqu’aux termes de l’ordre $m^{3},$ on observera que, par le Livre VII, l’action du Soleil augmente $u,$ ou ${\frac {1}{r}},$ de la