En substituant dans cette fonction, au lieu de
![{\displaystyle \gamma \sin gv+\mathrm {B} ^{(13)}e^{2}\gamma \sin(2cv-gv),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975b18f212739096ba52c378bb55b69f3aed628b)
on aura à très peu près, dans
les termes
![{\displaystyle (1-c)\mathrm {B} ^{(13)}e^{2}\gamma ^{2}dv\cos(2gv-2cv)-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}dv\cos 2gv.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e917f772aaae736dda8ed168ad58b7f5105728)
En réunissant ces termes au terme
en intégrant et observant que
est à fort peu près égal à
on aura dans
les termes
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m^{2}}{2g-2c}}&\left({\frac {5}{4}}\mathrm {A} ^{(24)}-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(40)}+{\frac {7}{4}}\mathrm {B} ^{(13)}+{\frac {15}{8}}\mathrm {A} ^{(1)}\mathrm {A} ^{(24)}\right.\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {15}{8}}\mathrm {A} ^{(22)}+{\frac {15}{16}}\mathrm {B} ^{(0)}-{\frac {3}{8}}\mathrm {B} ^{(11)}\right)e^{2}\gamma ^{2}\cos(2gv-2cv),\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\sin 2gv\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8240c36e6f681a041780d11216c0b2e0c22533fe)
les valeurs de
et de
étant ici rapportées au plan de l’écliptique. La formule
donne encore, dans
le terme
ou à fort peu près
En y substituant pour
et pour
on aura le terme
![{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(24)}e^{2}\gamma ^{2}\sin(2gv-2cv),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ca22294b19b008415a165e8e1ee1f766676426)
qu’il faut ajouter aux précédents. Nous observerons ici que l’on peut, dans l’argument
changer
en
En substituant, dans le terme
au lieu de
il en résulte le terme
![{\displaystyle -{\frac {3}{16}}e^{2}\gamma ^{2}\sin(2gt-2ct)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1024c0f55932ae1418bbbec9e8d109ed026a6f65)
on aura donc par la réunion de ces termes la valeur de l’inégalité dépendant de l’argument
dans l’expression de la longitude vraie de la Lune, rapportée à l’écliptique. Pour réduire en nombres cette