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En substituant dans cette fonction, au lieu de $s,$

$\gamma \sin gv+\mathrm {B} ^{(13)}e^{2}\gamma \sin(2cv-gv),$

on aura à très peu près, dans $d\delta v,$ les termes

$(1-c)\mathrm {B} ^{(13)}e^{2}\gamma ^{2}dv\cos(2gv-2cv)-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}dv\cos 2gv.$

En réunissant ces termes au terme $(e),$ en intégrant et observant que $1-c$ est à fort peu près égal à ${\frac {3}{2}}m^{2},$ on aura dans $\delta v$ les termes

${\begin{aligned}{\frac {m^{2}}{2g-2c}}&\left({\frac {5}{4}}\mathrm {A} ^{(24)}-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(40)}+{\frac {7}{4}}\mathrm {B} ^{(13)}+{\frac {15}{8}}\mathrm {A} ^{(1)}\mathrm {A} ^{(24)}\right.\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {15}{8}}\mathrm {A} ^{(22)}+{\frac {15}{16}}\mathrm {B} ^{(0)}-{\frac {3}{8}}\mathrm {B} ^{(11)}\right)e^{2}\gamma ^{2}\cos(2gv-2cv),\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\sin 2gv\,;\end{aligned}}$

les valeurs de $v$ et de $\delta v$ étant ici rapportées au plan de l’écliptique. La formule $(a)$ donne encore, dans $dv,$ le terme $-{\frac {dr\delta r}{dt}},$ ou à fort peu près $-{\frac {du\delta u}{u^{2}dv}}.$ En y substituant pour $du,$ $-edv\sin cv,$ et pour $\delta u,$ $\mathrm {A} ^{(24)}e\gamma ^{2}\cos(2gv-cv),$ on aura le terme

$-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{(24)}e^{2}\gamma ^{2}\sin(2gv-2cv),$

qu’il faut ajouter aux précédents. Nous observerons ici que l’on peut, dans l’argument $2gv-2cv,$ changer $v$ en $t.$ En substituant, dans le terme $-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\sin 2gv,$ au lieu de $v,$ $t+2e\sin ct+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2ct,$ il en résulte le terme

$-{\frac {3}{16}}e^{2}\gamma ^{2}\sin(2gt-2ct)\,;$

on aura donc par la réunion de ces termes la valeur de l’inégalité dépendant de l’argument $2gt-2ct,$ dans l’expression de la longitude vraie de la Lune, rapportée à l’écliptique. Pour réduire en nombres cette