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II.

De l’inégalité lunaire dont l’argument est le double de la distance angulaire du périgée au nœud de l’orbite.

Je vais déterminer cette inégalité par la méthode du second Chapitre du Livre VII de la Mécanique céleste : je conserverai les dénominations de ce Livre et du second Livre du même Ouvrage. La formule (T) du n^o 46 de ce second Livre peut être mise sous la forme

(A)

$d\delta v={\frac {2d^{2}(r\delta r)-d(dr\delta r)+dt^{2}\left(3\int \delta d\mathrm {R} +2\delta .r{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}-{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\delta r\right)}{r^{2}dv}}.$

Je supposerai ici l’orbite lunaire très peu inclinée à l’écliptique, et que la caractéristique $\delta$ est relative à son inclinaison, dont je négligerai les puissances supérieures au carré. On peut, dans cette formule, supposer $r^{2}dv$ proportionnel à l’élément du temps. Cette proportionnalité a lieu, même en ayant égard aux termes de l’ordre $m,$ de $r$ et de $v,$ $m$ étant comme ci-dessus le rapport du moyen mouvement du Soleil à celui de la Lune ; car ces termes, que l’intégration réduit à l’ordre $m,$ ont des arguments qui ne diffèrent de $v$ que de quantités de l’ordre $m\,;$ on peut donc les considérer comme autant de petites équations du centre, qui, comme l’on sait, ne troublent point la proportionnalité de l’aire ${\frac {1}{2}}r^{2}dv,$ décrite par le rayon vecteur, à l’élément du temps. On s’assurera directement de ce résultat de cette manière. Reprenons l’équation du n^o 46 du second Livre :

${\frac {r^{2}dv^{2}}{dt^{2}}}={\frac {rd^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {\mu }{r}}+r\mathrm {R} '.$

En désignant par $\delta '$ les perturbations, on aura

$\delta '{\frac {r^{4}dv^{2}}{dt^{2}}}=r^{3}{\frac {d^{2}\delta 'r}{dt^{2}}}+{\frac {3r^{2}d^{2}r}{dt^{3}}}\delta 'r+\mu \delta 'r+r^{3}\mathrm {R} '.$

En ne considérant que les termes de l’ordre $m$ et observant que $\mathrm {R} '$ est