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Ces équations sont les équations (A) et (C) des n^os 55 et 59 du second Livre de la Mécanique céleste. Lagrange a donné le premier les équations (C), relatives aux noeuds et aux inclinaisons des orbites, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1774. J'ai donné les équations (A) dans les Mémoires de la même Académie de 1772. Toutes ces équations sont linéaires et facilement intégrables par les méthodes connues ; leur forme symétrique et fort simple m’a permis de faire voir (Mémoires de l’Académie des Sciences de 1784) que leurs intégrales ne renferment, par rapport au temps, ni arcs de cercle, ni exponentielles, et qu’ainsi les valeurs de $h,l,p,q,h',\ldots$ sont des fonctions périodiques de sinus et de cosinus d’angles croissant avec une extrême lenteur, en sorte que les orbites planétaires ont toujours été et seront toujours presque circulaires et peu inclinées entre elles, résultat très important en ce qu’il assure la stabilité du système solaire. Il est facile de voir que les équations précédentes donnent

${\begin{aligned}m{\sqrt {a}}(hdh+\ ldl)+m'{\sqrt {a'}}(h'dh'+\ l'dl')+\ldots =0,\\m{\sqrt {a}}(pdp+qdq)+m'{\sqrt {a'}}(p'dp'+q'dq')+\ldots =0.\end{aligned}}$

En les intégrant, on aura

${\begin{aligned}e^{2}m{\sqrt {a}}+e'^{2}m'{\sqrt {a'}}+\ldots =&\mathrm {C} ,\\\gamma ^{2}m{\sqrt {a}}+\gamma '^{2}m'{\sqrt {a'}}+\ldots =&\mathrm {C} '.\end{aligned}}$

$\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ étant des constantes très petites, il en résulte que $e,e',\ldots ,$ $\gamma ,\gamma ',\ldots$ seront toujours de très petites quantités. Lagrange, dans la seconde édition de sa Mécanique analytique, observe que, si $m'$ est très petit par rapport à $m,$ comme Mars relativement à Jupiter, dont il n’est pas la centième partie, alors le terme $e'^{2}m'{\sqrt {a'}}$ sera toujours du même ordre que $e^{2}m{\sqrt {a}},$ quoique $e'$ croisse considérablement et devienne même égal à l’unité. Il en conclut que l’on ne peut être alors assuré que $e'^{2}$ conservera toujours une très petite valeur qu’en résolvant l’équation algébrique qui détermine les coefficients du temps dans les sinus et cosinus des expressions de $h,l,h',l',\ldots ,$ et en s’assurant ainsi que les racines de cette équation sont toutes réelles. Mais, si ce grand géo-