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d’où l’on tire

$p'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}-q'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}\,;$

on a donc

$d\gamma '={\frac {andt}{{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \gamma '}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}.$

On trouvera de la même manière

$d\theta '=-{\frac {andt}{{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \gamma '}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}\,;$

De là il suit que l’on a

$0={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}d\gamma '+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}d\theta '\,;$

ainsi la fonction $\mathrm {R}$ est constante, eu égard aux variations de $\gamma '$ et de $\theta '.$

Si l’on réunit ces équations aux équations (1), (2), (3), (4) de la page 6 du Supplément cité, et si l’on désigne par $\gamma$ et $\theta$ ce que nous venons de désigner par $\gamma '$ et $\theta ',$ on aura les six équations suivantes :

${\begin{array}{ll}(1)&da=-2a^{2}d\mathrm {R} ,\\(2)&d\varepsilon =-{\cfrac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right){\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial e}}+2a^{2}ndt{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial a}},\\(3)&de={\cfrac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}\left(1-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)d\mathrm {R} +{\cfrac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial \varpi }}\\(4)&d\varpi =-{\cfrac {andt{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial e}},\\(5)&d\gamma =\quad {\cfrac {andt}{{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \gamma }}{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta }},\\(6)&d\theta =-{\cfrac {andt}{{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \gamma }}{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma }}.\end{array}}$

Dans la lliéorie des variations séculaires, il est plus simple d’emplover, au lieu des quantités $e,\varpi ,\gamma ,\theta ,$ les suivantes, $h,l,p,q,$ en faisant

${\begin{alignedat}{2}h=&e\sin \varpi ,\qquad &l=&e\cos \varpi ,\\p=&\gamma \sin \theta ,&q=&\gamma \cos \theta .\end{alignedat}}$

Si l’on néglige les carrés et les produits de $e$ et de $\gamma ,$ eu égard à