En substituant pour
et
leurs valeurs précédentes en
et
et comparant séparément les coefficients de
et de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}\cos \theta '-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}\sin \theta '=&{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}\cos \gamma '\sin \theta '+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}\cos \gamma '\cos \theta '=&{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d154e5f92d20e2ba12ef0c10626b39de2e7fe47)
Ces valeurs de
et de
substituées dans l’expression de
donnent
![{\displaystyle dp'=-{\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}\cos \gamma '{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adebec6c39726f0d9d6e334c30ba0140e2cd65b)
On trouvera de la même manière
![{\displaystyle dq'={\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}\cos \gamma '{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e65c0cf24d20ec7ae0ce80589fc539b77f1d2f)
Ces équations sont rigoureuses et peuvent être substituées aux équations (5) et (6) du Supplément.
On peut en conclure de cette manière les valeurs de
et de
Pour cela, on observera que
![{\displaystyle \sin ^{2}\gamma '=p'^{2}+q'^{2},\qquad \operatorname {tang} \theta '={\frac {p'}{q'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec6d231680b6c95d7ee2bf5d25c5d85b9f645899)
ce qui donne
![{\displaystyle d\gamma '\sin \gamma '\cos \gamma '=p'dp'+q'dq',\qquad d\theta '\sin ^{2}\gamma '=q'dp'-p'dq'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392038031f4c417edc607599d159634b53570a9f)
Substituant au lieu de
et de
leurs valeurs précédentes, on aura
![{\displaystyle d\gamma '\sin \gamma '=-{\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}\left(p'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}-q'{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b7a9f2908aa97626afc1b99e73db08738e3594)
On a
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}dp'+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}dq'={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}d\theta '+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}d\gamma '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d10b1d8fdaea90b56b757c70b13c9c37abffe5b)
En substituant pour
et
leurs valeurs précédentes, et en comparant séparément les coefficients de
et de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}=&\quad {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}{\frac {\cos \theta '}{\sin \gamma '}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}{\frac {\sin \theta '}{\cos \gamma '}}\\{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}=&-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \theta '}}{\frac {\sin \theta '}{\sin \gamma '}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial \gamma '}}{\frac {\cos \theta '}{\cos \gamma '}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8778bf5eba28c5f034f7ef168f4f5b8b426c42af)