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La surface sphérique $\mathrm {ACB}$ est, aux infiniment petits près du second ordre, égale à $\gamma (1-\cos \theta ),$ et par conséquent égale à $\gamma -q,$ q désignant dans le Supplément $\gamma \cos \theta \,;$ on a donc

$\mathrm {A} +\pi -\gamma '+\gamma =\pi +\gamma -q\,;$

ce qui donne

$q=\gamma '-\mathrm {A} ,\qquad dq=d\gamma '.$

On a ensuite, en faisant $AB=f,$

$\sin \gamma \sin \theta =\sin f\sin \gamma '\,;$

ce qui donne, en observant que $\gamma$ et $f$ sont infiniment petits, et que $\gamma \sin \theta$ est ce que nous avons désigné par $p$ dans le Supplément cité,

$dp=df\sin \gamma '.$

Nommons présentement $\theta '$ la distance du nœud $\mathrm {B}$ de l’orbite au point fixe $\mathrm {M} ,$ et faisons

$p'-\sin \gamma '\sin \theta ',\qquad q'=\sin \gamma '\cos \theta '\,;$

on aura, en observant que $df=d\theta ',$

${\begin{aligned}dp'=&d\gamma '\cos \gamma '\sin \theta '+df\sin \gamma '\cos \theta ',\\dq'=&d\gamma '\cos \gamma '\cos \theta '-df\sin \gamma '\sin \theta '.\end{aligned}}$

L’expression précédente de $dp$ donne

$df={\frac {dp}{\sin \gamma '}}\,;$

on a ensuite, parce qui précède, $d\gamma '=dq\,;$ on aura donc

${\begin{aligned}dp'=&dq\cos \gamma '\sin \theta '+dp\cos \theta ',\\dq'=&dq\cos \gamma '\cos \theta '-dp\sin \theta '.\end{aligned}}$

Si l’on substitue, au lieu de $dp$ et de $dq,$ leurs valeurs données par les équations (5) et (6) de la page 6 du Supplément, on aura

$dp'={\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}\left(\cos \gamma '\sin \theta '{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}-\cos \theta '{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}\right).$

On a évidemment, en considérant successivement $\mathrm {R}$ comme fonction de $p'$ et de $q',$ et comme fonction de $p$ et de $q,$

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p'}}dp'+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q'}}dq'={\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}dp+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}dq.$