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L’inégalité entière devient ainsi

${\frac {3\mathrm {H} e\gamma ^{2}}{8a^{3}(3f-2g-c)}}\left({\frac {15m^{2}}{3f-2g-c}}-13\right)\cos(3fv-2gv-cv).$

En faisant

$3f-2g-c={\frac {m}{180}},\qquad m={\frac {3}{40}},$

cette inégalité devient à fort peu près, en substituant pour $\mathrm {H}$ sa valeur.

$170550{\frac {\mathrm {K} }{4}}{\frac {\mathrm {D} ^{3}}{a^{3}}}e\gamma ^{2}\sin ^{3}\lambda \cos(3fv-2gv-cv).$

En supposant, comme dans le Livre VII de la Mécanique céleste,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} }{a}}=&0{,}016551,\\\gamma =&0{,}090081,\\e=&0{,}054873,\end{aligned}}$

et faisant l’obliquité $\lambda$ de l’écliptique égale à $23^{\circ }28',$ la valeur de celle inégalité en secondes sexagésimales est

$1''{,}12\mathrm {K} \cos(3fv-2gv-cv).$

Pour déterminer $\mathrm {K} ,$ nous observerons que, par le n^o I, la Terre peut être ici considérée comme un sphéroïde de révolution ; alors

${\frac {\mathrm {KD} ^{3}}{r^{4}}}\left(\mu '^{3}-{\frac {3}{5}}\mu '\right)$

est le terme, divisé par $r^{4},$ de la formule (3) du n^o 14 du Livre III.

Le terme $\alpha l\mathrm {Y} ^{(3)}$ du rayon d’une couche du sphéroïde terrestre dont $l$ est le rayon moyen est de la forme $\alpha lp\left(\mu '^{3}-{\frac {3}{5}}\mu '\right),$ $p$ étant fonction de $l\,;$ le terme, divisé par $r^{4},$ de la formule (3) citée devient ainsi

${\frac {4\alpha \pi }{7r^{4}}}\int \rho d\left(l^{6}p\right)\left(\mu '^{3}-{\frac {3}{5}}\mu '\right),$

l’intégrale étant prise depuis $l$ nul jusqu’à $l=\mathrm {D} \,;$ on a donc

$\mathrm {KD} ^{3}={\frac {4\alpha \pi }{7}}\int \rho d\left(l^{6}p\right),$