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terrestres. Cette variation dépend des angles $3fv-gv-cv,\ 3fv-gv.$ On a, en n’ayant égard qu’à ces angles,

${\begin{aligned}{\frac {1}{h^{2}u^{2}}}{\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}=&{\frac {3\mathrm {H} e\gamma }{2h^{6}}}\cos(3fv-gv-cv)+{\frac {3\mathrm {H} \gamma }{2h^{6}}}\cos(3fv-gv),\\&-{\frac {s}{h^{2}u}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}-{\frac {\left(1+s^{2}\right)}{h^{2}u^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}\\=&{\frac {3\mathrm {H} e\gamma }{2h^{6}}}\cos(3fv-gv-cv)+{\frac {3\mathrm {H} \gamma }{2h^{6}}}\cos(3fv-gv)\,;\end{aligned}}$

la troisième des équations (L) devient ainsi

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+g^{2}s+{\frac {3\mathrm {H} e\gamma }{h^{6}}}\cos(3fv-gv-cv)+{\frac {3\mathrm {H} \gamma }{h^{6}}}\cos(3fv-gv).$

Cette équation intégrée donne à fort peu près

$\delta s={\frac {3\mathrm {H} e\gamma }{2h^{6}(3f-2g-c)}}\cos(3fv-gv-cv)+{\frac {\mathrm {H} \gamma }{h^{6}}}\cos(3fv-gv)\,;$

en substituant cette valeur dans l’équation différentielle en $u,$ et désignant par $\delta u$ la variation de $u$ dépendante de la différence des deux hémisphères, on aura

$\delta u=-{\frac {9}{4}}{\frac {\mathrm {H} e\gamma ^{2}}{h^{8}}}{\frac {\sin(3fv-2gv-cv)}{3f-2g-c}}-{\frac {3\mathrm {H} \gamma ^{2}\sin(3fv-2gv)}{4h^{8}(3f-2g-c)}}.$

3. Je reprends maintenant l’analyse du Chapitre II du Livre VII de la Mécanique céleste. La partie

$(a)\quad \qquad \qquad \qquad {\frac {3dt^{2}\int \delta d\mathrm {R} +2dt^{2}\delta .r{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}-dt^{2}{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}\delta r}{r^{2}dv'}},$

de la formule (T) du n^o 46 du second Livre exprime la variation différentielle de la longitude vraie de la Lune sur l’orbite, relative à l’inégalité que nous considérons, $dv'$ étant $dv$ rapporté à l’orbite lunaire, et la caractéristique $\delta$ se rapportant ici aux variations dépendant de la différence des deux hémisphères terrestres.

La fonction $-\delta \mathrm {R}$ est ce que nous avons désigné ci-dessus $\mathrm {Q} \,;$ cette