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$\gamma \sin(gv-\theta )$ dans l’équation (L") pour avoir le coefficient de $\sin fv,$ coefficient que nous désignerons par $g_{1}^{2}-1.$ La petitesse de $\mathrm {B} _{1}^{(0)},$ qui, par le n^o  16, est égal à $0{,}0283831,$ rend celle diminution insensible. $\gamma \sin(gv-\theta )$ dans l’équation (L") pour avoir le coefficient de $\sin fv,$ coefficient que nous désignerons par $g_{1}^{2}-1.$ La petitesse de $\mathrm {B} _{1}^{(0)},$ qui, par le n^o  16, est égal à $0{,}0283831,$ rend celle diminution insensible. $\gamma \sin(gv-\theta )$ dans l’équation (L") pour avoir le coefficient de $\sin fv,$ coefficient que nous désignerons par $g_{1}^{2}-1.$ La petitesse de $\mathrm {B} _{1}^{(0)},$ qui, par le n^o  16, est égal à $0{,}0283831,$ rend celle diminution insensible.

On trouve, en effet, qu’elle est égale à $\left(g^{2}-1\right)0{,}000047845.$ Ainsi elle n’altère pas d’un vingt-millième le coefficient de l’inégalité précédente ; on peut donc la négliger.

Les deux coefficients $g_{1}^{2}-1$ et $g^{2}-1$ peuvent différer dans les puissances $s^{3},s^{5},\ldots$ que donne le développement des forces perturbatrices dans les équations (L) et (L") des n^os 1 et 13. Mais si l’on substitue dans $s^{3},$ par exemple, au lieu de $s,$ $\gamma \sin(gv-\theta )+\mathrm {H} \sin fv,$ et qu’on néglige le carré de $\mathrm {H} ,$ il est facile de voir que les coefficients de $\gamma \sin(gv-\theta )$ et de $\mathrm {H} \sin fv$ seront égaux entre eux et à ${\frac {3}{4}}\gamma ^{2}.$ La quantité $g_{1}^{2}-f^{2}$ est le dénominateur qu’il faudrait rigoureusement substituer à $g^{2}-f^{2}$ dans l’expression de l’inégalité précédente en latitude ; on peut donc y conserver sans erreur sensible le dénominateur $g^{2}-f^{2}.$

Le facteur $1+2e^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2}-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}$ est égal à $1{,}004737\,;$ il diffère très peu de l’unité. Cependant, il est utile d’y avoir égard dans la recherche délicate de l’aplatissement de la Terre. Pour avoir égard aux carrés de l’excentricité et de l’inclinaison de l’orbite lunaire, dans l’inégalité lunaire en longitude, il devient très avantageux d’employer l’analyse du Livre VII, Chapitre II.

MM. Bürg et Burckhardt ont comparé les inégalités précédentes : le premier, à toutes les observations de Maskelyne ; le second, à l’ensemble des observations de Maskelyne et de Bradley. L’un et l’autre sont parvenus à la même inégalité lunaire en latitude, dont ils ont fixé le coefficient à $8''{,}0$ en secondes sexagésimales ; on peut donc regarder ce coefficient comme bien déterminé. En le comparant à l’expression analytique précédente, on trouve ${\frac {1}{300}}$ à très peu près pour l’aplatissement $\alpha \rho$ de la Terre.

Relativement à l’inégalité en longitude, Bürg l’a fixée à $6''{,}8,$ et Burckhardt à $7''{,}0.$ On voit donc qu’ils sont à très peu près d’accord