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on peut donner à ce terme la forme

${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 4\\\hline \end{array}}\left[{\begin{aligned}&\sin(nt+\varepsilon )\int dte^{\text{ıv}}\cos \varpi ^{\text{ıv}}\\-&\cos(nt+\varepsilon )\int dte^{\text{ıv}}\sin \varpi ^{\text{ıv}}\end{aligned}}\right].$

En comparant l’inégalité $496{,}71\sin(n^{\text{ıv}}t+\varepsilon ^{\text{ıv}}-x)$ à l’équation du centre de Jupiter $+2e^{\text{ıv}}\sin \left(n^{\text{ıv}}t+\varepsilon ^{\text{ıv}}-\varpi ^{\text{ıv}}\right),$ on a

${\begin{aligned}+2e^{\text{ıv}}\cos \varpi ^{\text{ıv}}=&496''{,}71\cos x,\\+2e^{\text{ıv}}\sin \varpi ^{\text{ıv}}=&496''{,}71\sin x.\end{aligned}}$

En suhstitnant ces valeurs dans les intégrales précédentes, on aura, en exprimant par ${\frac {\delta r}{a}}$ cette partie des perturbations de ${\frac {r}{a}},$

${\frac {\delta r}{a}}={\frac {\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 4\\\hline \end{array}}{2f}}496''{,}71\cos(nt+\varepsilon -x),$

$f$ étant égal au coefficient de $t$ dans $x$ ou à $5n^{\text{v}}-2n^{\text{ıv}}-155''{,}89\,;$ ce qui donne, par le n^o 23 du Livre X de la Mécanique céleste,

$2f=8779''{,}5.$

De là résulte, dans le mouvement de la planète dont $x$ est le rayon vecteur, l’inégalité

$-2{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 4\\\hline \end{array}}{\frac {496''{,}71}{8779''{,}5}}\sin(nt-\varepsilon +x),$

de même que le terme $-e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )$ de l’expression de $r$ produit, dans ce mouvement, le terme $+2e\sin(nt+\varepsilon -\varpi ).$

L’inégalité précédente est relative à Mercure. Pour Vénus ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 4\\\hline \end{array}}$ se change dans ${\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 4\\\hline \end{array}}$ et $nt+\varepsilon$ devient $n't+\varepsilon '$ et ainsi des autres planètes. J’ai donné, dans le Livre VI de la Mécanique céleste, les valeurs numériques de ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 4\\\hline \end{array}},{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 4\\\hline \end{array}},\ldots$ ^[1]. La plus grande de ces valeurs est celle de ${\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 4\\\hline \end{array}}.$ Elle est égale à $16''{,}108$ et se rapporte à la planète Mars pour laquelle l’inégalité précédente devient ainsi

$-1''{,}82\sin(n'''t+\varepsilon '''-x).$

1. Œuvres de Laplace, T. III, p. 92.