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une quantité très petite, ce centre ne s’écartera du centre de gravité du sphéroïde que d’une quantité de l’ordre $\alpha \,;$ l’attraction du sphéroïde, décomposée vers l’origine des $r,$ est $-\left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)$ et il est facile de voir qu’elle est la même, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$ quelle que soit cette origine, pourvu qu’elle ne s’écarte du centre de gravité du sphéroïde que d’une quanlité de l’ordre $\alpha ,$ puisque ces attractions partielles sont les résultantes de l’attraction totale composée avec des forces de l’ordre $\alpha ,$ qui lui sont perpendiculaires ; ainsi, l’équation précédente subsiste en fixant l’origine de $r$ à un point quelconque très près du centre de gravité.

Telle est la démonstration que j’ai donnée de cette équation dans l’endroit cité de la Mécanique céleste. Quelques géomètres, ne l’ayant pas bien saisie, l’ont jugée inexacte. Lagrange, dans le tome VIII du Journal de l’École Polytechnique, a donné une démonstration de cette équation, fondée sur une analyse à peu près semblable à celle qui m’avait fait découvrir cette équation (Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1775, p. 83) ^[1]. C’est pour simplifier cette matière que j’ai préféré de donner dans la Mécanique céleste la démonstration précédente.

Si le point attiré est élevé d’une quantité $\alpha ay'$ au-dessus du sphéroïde, $\mathrm {V}$ étant de la forme ${\frac {4}{3}}\pi {\frac {a^{3}}{r}}+\alpha \mathrm {Q} ,$ il ne variera, par ce déplacement du point et en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ que de la quantité $-{\frac {4}{3}}\pi a^{2}\alpha y'.$ La différence partielle $a\left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)$ variera de la quantité $+{\frac {8}{3}}\pi a^{2}\alpha y'.$ La variation du premier membre de l’équation (2) sera donc $2\pi a^{2}\alpha y'\,;$ on aura donc alors

(3)

$a\left({\frac {d\mathrm {V} }{dr}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {V} =-{\frac {2a^{2}\pi }{3}}+2a^{2}\pi \alpha y'.$

On peut considérer la Terre entière comme étant formée d’un sphéroïde dont le rayon est celui de la surface de la mer et de la partie

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 82.