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enfin on peut, au lieu de l’élément $dt$ du temps, substituer

${\frac {r^{2}d\mathrm {U} }{\sqrt {(\mathrm {T+L} )a\left(1-e^{2}\right)}}}\,;$

on aura donc ainsi

${\frac {d\Psi }{dt}}\sin \theta '={\frac {3\mathrm {L} \sin ^{2}\mathrm {U} }{r}}{\frac {d\mathrm {U} (\mathrm {2C-A-B} )}{2n\mathrm {C} {\sqrt {(\mathrm {T+L} )a\left(1-e^{2}\right)}}}}$

$\times \left[\left(\cos ^{2}\gamma -\sin ^{2}\gamma \right)\sin \theta '\cos \theta '+\left(\cos ^{2}\theta '-\sin ^{2}\theta '\right)\sin \gamma \cos \gamma \right].$

On a

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos(\mathrm {\mathrm {U} } -\omega )}},$

$\omega$ étant la longitude du périgée lunaire. En négligeant donc les termes périodiques, on aura

${\frac {d\Psi }{dt}}\sin \theta '={\frac {3\mathrm {L(2C-A-B)} d\mathrm {U} }{4n\mathrm {C} \left[a\left(1-e^{2}\right)\right]^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\mathrm {T+L} }}}}$

$\times \left[\left(\cos ^{2}\gamma -\sin ^{2}\gamma \right)\sin \theta '\cos \theta '+\left(\cos ^{2}\theta '-\sin ^{2}\theta '\right)\sin \gamma \cos \gamma \right].$

Si l’on suppose

${\text{ϐ}}={\frac {n\mathrm {C(T+L)} }{\mathrm {LT} a^{2}n'{\sqrt {1-e^{2}}}}},$

on aura

$\sin \gamma ={\text{ϐ}}\sin \theta '.$

De là il est facile de conclure que l’on aura, pour le moyen mouvement rétrograde des nœuds dans le temps $t,$ en observant que ${\frac {\mathrm {T+L} }{a^{3}}}=n'^{2},$

${\begin{aligned}\Psi =&{\frac {3\mathrm {L} n't}{4\mathrm {(T+L)} }}{\frac {n'}{n}}{\frac {(\mathrm {2C-A-B} )}{a\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&\times \left[\left(\cos ^{2}\gamma -\sin ^{2}\gamma \right)\cos \theta '+\left(\cos ^{2}\theta '-\sin ^{2}\theta '\right){\text{ϐ}}\cos \gamma \right].\end{aligned}}$

Considérons maintenant l’action du Soleil sur le système formé de la Terre et de la Lune. Le plan du maximum des aires, au lieu d’être invariable, changera sans cesse, mais, comme au moment où l’action du Soleil cesserait, il serait le plan invariable du maximum des aires, on voit, par ce qui précède, que ce plan doit toujours passer par l’intersection de l’équateur et de l’orbe lunaire, et qu’il doit diviser