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l’intersection de l’équateur terrestre et du plan invariable coïncide donc constamment avec l’intersection de l’orbe lunaire et du même plan, de manière que le nœud ascendant de l’équateur coïncide avec le nœud descendant de l’orbe lunaire. Les deux angles $\theta '$ et $\gamma$ ont entre eux la relation

$\sin \theta '={\frac {\mathrm {LT} }{\mathrm {C} n(\mathrm {T+L} )}}a^{2}n'{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \gamma .$

De plus cette équation, combinée avec l’expression précédente de la constante $c,$ nous montre que les deux angles $\theta '$ et $\gamma$ sont constants. Ainsi, dans les mouvements respectifs de l’équateur terrestre et de l’orbe lunaire, ces deux plans conservent une intersection commune et des inclinaisons constantes au pian invariable, et cette intersection a un mouvement séculaire rétrograde et uniforme, puisque ce mouvement ne peut dépendre que de l’inclinaison de l’orbe lunaire sur l’équateur. Ce résultat est analogue à celui que j’ai donné dans le n^o 62 du second Livre de la Mécanique céleste sur les mouvements des orbites de deux planètes qui s’attirent mutuellement et qui sont attirées par le Soleil.

Pour déterminer le mouvement rétrograde des nœuds de l’équateur et de l’orbe lunaire, je reprends l’équation ci-dessus

${\frac {d\Psi }{dt}}\sin \theta ={\frac {(\mathrm {2C-A-B} )}{2n\mathrm {C} }}p.$

En prenant pour plan de projection un plan passant par le centre de gravité de la Terre, parallèlement au plan invariable du système de la Terre et de la Lune, il est clair que le mouvement rétrograde des nœuds de l’équateur sur ce plan sera égal au mouvement rétrograde de l’intersection de l’équateur et de l’orbe lunaire sur le plan invariable. Or on a dans l’expression de $p,$ et en supposant que $\mathrm {L}$ soit la Lune,

$\mathrm {Y} =r\cos \gamma \sin \mathrm {U} ,\qquad \mathrm {Z} =r\sin \gamma \sin \mathrm {U} ,$

$\mathrm {U}$ étant la distance angulaire de la Lune au nœud de son orbite, qui coïncide avec le nœud de l’équateur ; on doit ensuite changer $\theta$ en $\theta '\,;$