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De la on tirera, en supposant toujours $\Psi$ nul après les différenciations,

(o)\ \ d\Psi ={\frac {-\left({\cfrac {d\mathrm {V} '}{d\theta }}\right)}{\mathrm {K} \sin \theta }},\ \ d\theta ={\frac {\left({\cfrac {d\mathrm {V} '}{d\varphi }}\right)+\cos \theta \left({\cfrac {d\mathrm {V} '}{d\Psi }}\right)}{\mathrm {K} \sin \theta }},\ \ d\mathrm {K} ={\frac {\left({\cfrac {d\mathrm {V} '}{d\varphi }}\right)}{\mathrm {K} }}.

Ces équations, auxquelles M. Poisson est parvenu le premier, ont généralement lieu, soit que le système soit entièrement solide, soit que, comme la Terre, il soit en partie solide et en partie fluide, et dans le cas même où des satellites et des anneaux en feraient partie.

Si l’on nomme $\mathrm {A,B,C}$ les moments d’inertie de la Terre entière par rapport à ses trois axes principaux, $\mathrm {C}$ étant relatif à l’axe principal de rotation, et si l’on désigne par $\mathrm {X,Y,Z}$ les trois coordonnées rectangulaires d’un astre $\mathrm {L} ,$ rapportées au centre de gravité de la Terre, l’axe des $\mathrm {X}$ étant l’intersection du plan du maximum des aires avec l’écliptique fixe, l’axe des $\mathrm {Y}$ étant perpendiculaire à cette intersection dans le plan de cette écliptique, et l’axe des $\mathrm {Z}$ étant perpendiculaire à cette écliptique ; on trouvera facilement, par le n^o 3 du cinquième Livre de la Mécanique céleste, en nommant $r$ la distance de l’astre $\mathrm {L}$ au centre de la Terre et $\mathrm {T}$ la masse de la Terre entière :

{\begin{aligned}&\mathrm {V} '={\frac {\mathrm {LT} }{r}}+{\frac {3\mathrm {L} }{4r^{5}}}(2\mathrm {C-B-A} )\left[{\frac {1}{3}}r^{2}-\left(\mathrm {Y} \sin \theta +\mathrm {Z} \cos \theta \right)^{2}\right]\\&+{\frac {3\mathrm {L} }{4r^{5}}}(\mathrm {B-A} )\left\{{\begin{aligned}&\left(\mathrm {X^{2}-Y^{2}} \cos ^{2}\theta -\mathrm {Z} ^{2}\sin ^{2}\theta +2\mathrm {YZ} \sin \theta \cos \theta \right)\cos 2\varphi \\&\quad +(2\mathrm {XY} \cos \theta -2\mathrm {XZ} \sin \theta )\sin 2\varphi \end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}

Pour différentier cette expression par rapport à l’angle $\Psi$ qu’elle ne renferme point explicitement, on observera que

{\begin{aligned}\left({\frac {d\mathrm {X} }{d\Psi }}\right)=&-\mathrm {Y} ,\\\left({\frac {d\mathrm {Y} }{d\Psi }}\right)=&\mathrm {X} ,\\\left({\frac {d\mathrm {Z} }{d\Psi }}\right)=&0,\end{aligned}}

comme il est facile de s’en assurer.