de la Terre,
![{\displaystyle (m)\quad \left\{{\begin{aligned}&-(\mathrm {M+M'} )\left(y^{'(1)}+y^{'(2)}+y^{'(3)}+\ldots \right)\\&+4\pi \int (\rho -1)d\left({\frac {a^{4}y^{(1)}}{3}}+{\frac {a^{5}y^{(2)}}{5}}+{\frac {a^{6}y^{(3)}}{7}}+\ldots \right)\\&+4\pi \left({\frac {y^{'(1)}}{3}}+{\frac {y^{'(2)}}{5}}+{\frac {y^{'(3)}}{7}}+\ldots \right)\\=&(\mathrm {M+M'} ){\frac {\varphi }{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc459916f546ab50738c4186ea4f46fc7b5b2fd)
Maintenant, si l’on place l’origine des
au centre de gravité d’un sphéroïde formé de couches dont le rayon soit
et dont la densité soit
on a par le no 31 du troisième Livre de la Mécanique céleste
![{\displaystyle 0=\int (\rho -1)d\left(a^{4}y^{(1)}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab87cf482f51cdbc633956d4af5812a3c24f7043)
Si l’on prend ensuite pour axe des
l’un des axes principaux du même sphéroïde, on a par le no 32 du même Livre
![{\displaystyle \int (\rho -1)d\left(a^{5}y^{(2)}\right)=\mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+\mathrm {H} '\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52ecd3f0d394eef3dffa6c951e6905e7e676c51)
et
étant des constantes ; on a donc, en comparant respectivement dans l’équation précédente de l’équilibre les fonctions semblables ![{\displaystyle y^{(1)},y^{(2)},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7202db59c70e70eceaf795bfd04b6b72b37b3fca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{'(1)}=&0,\\y^{'(2)}=&{\frac {{\cfrac {4\pi }{5}}\left[\mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\cfrac {1}{3}}\right)+\mathrm {H} '\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\omega \right]-{\cfrac {1}{2}}(\mathrm {M+M'} )\varphi \left(\mu ^{2}-{\cfrac {1}{3}}\right)}{\mathrm {M+M'} -{\cfrac {4\pi }{5}}}}\\y^{'(3)}=&{\frac {{\cfrac {4\pi }{7}}\int (\rho -1)d\left(a^{6}y^{(3)}\right)}{\mathrm {M+M'} -{\cfrac {4\pi }{7}}}},\\y^{'(4)}=&{\frac {{\cfrac {4\pi }{9}}\int (\rho -1)d\left(a^{7}y^{(4)}\right)}{\mathrm {M+M'} -{\cfrac {4\pi }{9}}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d859b7677c3533447c5e9e136442e2b6330031d)