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trémité supérieure. Cela posé, la somme des forces détruites dans la masse $\mathrm {M}$ sera

${\begin{aligned}&-\mathrm {S} '\left[{\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dt^{2}}}+a{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}\\&\quad {\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}\cos(\varphi '+\gamma )\end{aligned}}\right]d\mathrm {M} \left[{\begin{aligned}&\delta \mathrm {X} +a\delta \varphi +\delta x'\\&\quad +z\delta \varphi '\cos(\varphi '+\gamma ')\end{aligned}}\right]\end{aligned}},$

le signe $\mathrm {S} '$ se rapportant à toutes les molécules de la masse $\mathrm {M} .$ On a, par la nature du centre de gravité,

$\mathrm {S} 'zd\mathrm {M} \sin \gamma '=0,\qquad \mathrm {S} 'zd\mathrm {\mathrm {M} } \cos \gamma '=\mathrm {ML} ,$

$\mathrm {L}$ étant la distance du centre de gravité de la masse $\mathrm {M}$ à son point de suspension par le fil. En substituant au lieu de $\delta \mathrm {X} ,$ $-r\delta \varphi ,$ et au lieu de $\delta x',$ $\sum \delta \psi ^{(i)}ds,$ la somme précédente devient

${\begin{aligned}&-\mathrm {M} \left[(a-r){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+\mathrm {L} {\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}\right]\left[(a-r)\delta \varphi +w\mathrm {S} \delta \psi ^{(i)}ds\right],\\&-\left\{\mathrm {ML} \left[(a-r){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}\right]+{\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}\mathrm {S} 'z^{2}d\mathrm {M} \right\}\delta \varphi '.\end{aligned}}$

On a ensuite, pour la somme des actions de la pesanteur sur la masse $\mathrm {M} ,$ multipliées par les éléments de leurs directions,

$-g\mathrm {M} (a\varphi \delta \varphi +\mathrm {L} \varphi '\delta \varphi ')-g\mathrm {M} w\mathrm {S} \psi ^{(i)}ds\delta \psi ^{(i)}.$

Maintenant la somme des forces détruites et des actions de la pesanteur, multipliées par les éléments de leurs directions, doit être nulle en vertu du principe des vitesses virtuelles ; en formant donc cette somme et en y égalant d’abord à zéro le coefficient de $\alpha \varphi ,$ on aura, en négligeant les termes de l’ordre $r^{2}$ et observant que $\rho h=m'.$

(1)

$\left\{{\begin{aligned}0=&\left(\int z^{2}dm-2mlr\right){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+(\mathrm {M} +m')(a-r)^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\\&+\mathrm {ML} (a-r){\frac {d^{2}\varphi '}{dt^{2}}}+\mathrm {M} (a-r){\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+(a-r)\mathrm {S} \rho ds{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\&+gml\varphi +ag(\mathrm {M} +m')\varphi \,;\end{aligned}}\right.$