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De là j’ai conclu, pour l’expression générale de la longueur de ce pendule,

$0^{\mathrm {m} }{,}739505+0^{\mathrm {m} }{,}0040780p^{(i)}.$

Maintenant, pour avoir la probabilité que le coefficient de $p^{(i)}$ ou de la loi de la pesanteur est compris dans les limites données, il faut connaître les valeurs de $\mathrm {S} p^{(i)},\mathrm {S} p^{(i)^{2}}$ et $\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)^{2}}.$ M. Mathieu a trouvé

${\begin{aligned}\mathrm {S} p^{(i)}\ =&14{,}255136,\\\mathrm {S} p^{(i)^{2}}=&7{,}9569564,\\\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)^{2}}=&0{,}00000093890182.\end{aligned}}$

On a d’ailleurs ici $q^{(i)}=1\,;$ ce qui donne $\mathrm {S} q^{(i)}=s,$ $s$ étant le nombre des observations qui, dans le cas présent, est égal à trente-sept. Cela posé, j’observe que si l’on nomme $u$ et $u'$ les erreurs simultanées des valeurs de $z$ et $z',$ déterminées par la méthode la plus avantageuse, la probabilité de ces erreurs est, par le n^o 21 du second Livre lie ma Théorie analytique des probabilités ^[1], proportionnelle à l’exponentielle

$c^{-{\frac {\left(\mathrm {F} u^{2}+2\mathrm {G} uu'+\mathrm {H} u'^{2}\right)s}{\mathrm {E} 2\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)^{2}}}}},$

et l’on a, par le même numéro.

${\begin{aligned}\mathrm {F} =&\mathrm {S} p^{(i)^{2}}\left[s\mathrm {S} p^{(i)^{2}}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}\right)^{2}\right],\\\mathrm {G} =&\mathrm {S} p^{(i)}\ \left[s\mathrm {S} p^{(i)^{2}}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}\right)^{2}\right],\\\mathrm {H} =&s\left[s\mathrm {S} p^{(i)^{2}}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}\right)^{2}\right],\\\mathrm {E} =&s\mathrm {S} p^{(i)^{2}}-\left(\mathrm {S} p^{(i)}\right)^{2},\end{aligned}}$

ce qui change l’exponentielle précédente dans celle-ci

Mais, si l’on prend pour unité la longueur du pendule à l’equateur, il faudra diviser la formule $(a)$ par son premier terme, et alors

1. Œuvres de Laplace, Tome VII, p. 327.