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Maintenant il s’agit de former la quantité $\mathrm {S} p_{5}^{(i)^{2}}.$ Pour cela, j’observe que les équations de condition, représentées par l’équation (2), donnent les six équations suivantes, en les multipliant d’abord par leur coefficient de $z^{\text{v}}$ et les ajoutant, ensuite en les multipliant par leur coefficient de $z^{\text{ıv}}$ et les ajoutant, et ainsi de suite :

(A)

$\left\{{\begin{aligned}{\overline {\lambda \omega }}=&\lambda ^{(2)}z^{\text{v}}+{\overline {\lambda v}}\,\ z^{\text{ıv}}+{\overline {\lambda t}}\ z'''+{\overline {\lambda r}}\ z''+{\overline {\lambda q}}\ \,z'+{\overline {\lambda p}}z,\\{\overline {v\omega }}=&\lambda v\ \ z^{\text{v}}+v^{(2)}z^{\text{ıv}}+{\overline {vt}}\ \ z'''+{\overline {vr}}\ z''+{\overline {vq}}\ \ z'+{\overline {\varpi }}z,\\{\overline {t\omega }}=&\lambda t\ \ \,z^{\text{v}}+{\overline {vt}}\ \ z^{\text{ıv}}+t^{(2)}z'''+{\overline {tr}}\ \ z''+{\overline {tq}}\ \ z'+{\overline {tp}}z,\\{\overline {r\omega }}=&\lambda r\ \ z^{\text{v}}+{\overline {rv}}\ \ z^{\text{ıv}}+{\overline {rt}}\ \ z'''+r^{(2)}z''+{\overline {rq}}\ \,z'+{\overline {rp}}z,\\{\overline {q\omega }}=&\lambda q\ \ z^{\text{v}}+{\overline {qv}}\ \ z^{\text{ıv}}+{\overline {qt}}\ \ z'''+{\overline {qr}}\,\ z''+q^{(2)}z'+{\overline {qp}}z,\\{\overline {p\omega }}=&\lambda p\ \ z^{\text{v}}+{\overline {pv}}\ \ z^{\text{ıv}}+{\overline {pt}}\,\ z'''+{\overline {pr}}\ \,z''+{\overline {pq}}\ \,z'+p^{(2)}z.\end{aligned}}\right.$

On doit observer que, dans ces équations, on a

$\lambda ^{(2)}=\mathrm {S} \lambda ^{(i)},\qquad {\overline {\lambda v}}=\mathrm {S} \lambda ^{(i)}v^{(i)},\qquad \ldots ,$

et ainsi du reste.

On formera de la même manière les cinq équations suivantes :

(B)

$\left\{{\begin{aligned}{\overline {v_{1}\omega _{1}}}=&v_{1}^{(2)}\ \,z^{\text{ıv}}+{\overline {v_{1}t_{1}}}z'''+{\overline {v_{1}r_{1}}}z''+{\overline {v_{1}q_{1}}}z'+{\overline {v_{1}p_{1}}}z,\\{\overline {t_{1}\omega _{1}}}=&{\overline {t_{1}v_{1}}}z^{\text{ıv}}+t_{1}^{(2)}\ \,z'''+{\overline {t_{1}r_{1}}}\,z''+{\overline {t_{1}q_{1}}}\,z'+{\overline {t_{1}p_{1}}}z,\\{\overline {r_{1}\omega _{1}}}=&{\overline {r_{1}v_{1}}}z^{\text{ıv}}+{\overline {r_{1}t_{1}}}z'''+r_{1}^{(2)}\ \,z''+{\overline {r_{1}q_{1}}}z'+{\overline {r_{1}p_{1}}}z,\\{\overline {q_{1}\omega _{1}}}=&{\overline {q_{1}v_{1}}}z^{\text{ıv}}+{\overline {q_{1}t_{1}}}z'''+{\overline {q_{1}r_{1}}}z''+q_{1}^{(2)}\ \,z'+{\overline {q_{1}p_{1}}}z,\\{\overline {p_{1}\omega _{1}}}=&{\overline {p_{1}v_{1}}}z^{\text{ıv}}+{\overline {p_{1}t_{1}}}z'''+{\overline {p_{1}r_{1}}}z''+{\overline {p_{1}q_{1}}}z'+p_{1}^{(2)}\ \,z.\end{aligned}}\right.$

On aura les valeurs de $v_{1}^{(2)},{\overline {v_{1}t_{1}}},\ldots ,$ au moyen des coefficients des équations (A), en observant que

$v_{1}^{(2)}=v^{(2)}-{\frac {{\overline {\lambda v}}^{2}}{\lambda ^{(2)}}},\quad {\overline {v_{1}t_{1}}}={\overline {vt}}-{\frac {{\overline {\lambda v}}\,{\overline {\lambda t}}}{\lambda ^{(2)}}},\quad {\overline {v_{1}r_{1}}}={\overline {vr}}-{\frac {{\overline {\lambda v}}\,{\overline {\lambda r}}}{\lambda ^{(2)}}},\quad \ldots ,$

$t_{1}^{(2)}=t^{(2)}-{\frac {{\overline {\lambda t}}^{2}}{\lambda ^{(2)}}},\qquad \ldots ,\qquad {\overline {v_{1}\omega _{1}}}={\overline {v\omega }}-{\frac {{\overline {\lambda v}}\,{\overline {\lambda \omega }}}{\lambda ^{(2)}}},\qquad \ldots .$