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tuant dans l’équation $(4),$

(5)

$\varepsilon ^{(i)}=t_{2}^{(i)}z'''+r_{2}^{(i)}z''+q_{2}^{(i)}z'+p_{2}^{(i)}z-\omega _{2}^{(i)},$

en faisant

${\begin{aligned}t_{2}^{(i)}=&t_{1}^{(i)}-v_{1}^{(i)}{\frac {\mathrm {S} v_{1}^{(i)}t_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} v_{1}^{(i)^{2}}}},\\r_{2}^{(i)}=&r_{1}^{(i)}-v_{1}^{(i)}{\frac {\mathrm {S} v_{1}^{(i)}r_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} v_{1}^{(i)^{2}}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

En multipliant encore l’équation (5) par $t_{2}^{(i)},$ et réunissant les produits semblables relatifs à toutes les équations de condition représentées par l’équation (5), en observant ensuite que l’on a $\mathrm {S} t_{2}^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,$ en vertu des équations

$\mathrm {S} \lambda ^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,\qquad \mathrm {S} v^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,\qquad \mathrm {S} t^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,$

on aura une équation d’où l’on tirera la valeur de $z''',$ qui, substituée dans l’équation (5), donnera

(6)

$\varepsilon ^{(i)}=r_{3}z''+q_{3}z'+p_{3}z-\omega _{3}^{(i)},$

en faisant

$r_{3}=r_{2}-t_{2}{\frac {\mathrm {S} t_{2}^{(i)}r_{2}^{(i)}}{\mathrm {S} t_{2}^{(i)^{2}}}},\qquad \ldots .$

En continuant ainsi, on parvient à une équation de la forme

(7)

$\varepsilon ^{(i)}=p_{5}^{(i)}z-\omega _{5}^{(i)}.$

Il résulte du n^o 20 du second Livre de ma Théorie analytique des probabilités ^[1] que si la valeur de $z$ est déterminée par l’équation (7) et que $u$ soit l’erreur de cette valeur, la probabilité de cette erreur est

${\sqrt {\frac {s\mathrm {S} p_{5}^{(i)^{2}}}{2\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)^{2}}}}}c^{-{\frac {s\mathrm {S} p_{5}^{(i)^{2}}}{2\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)^{2}}}}u^{2}}\,;$

on a donc

$\mathrm {P} ={\frac {s\mathrm {S} p_{5}^{(i)^{2}}}{2\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)^{2}}}}.$

1. Œuvres de Laplace, T. VII, p. 318.