tuant dans l’équation
(5)
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en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{2}^{(i)}=&t_{1}^{(i)}-v_{1}^{(i)}{\frac {\mathrm {S} v_{1}^{(i)}t_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} v_{1}^{(i)^{2}}}},\\r_{2}^{(i)}=&r_{1}^{(i)}-v_{1}^{(i)}{\frac {\mathrm {S} v_{1}^{(i)}r_{1}^{(i)}}{\mathrm {S} v_{1}^{(i)^{2}}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13d17bdeb129e93e847c8ad8e0af96c304a8ac3)
En multipliant encore l’équation (5) par
et réunissant les produits semblables relatifs à toutes les équations de condition représentées par l’équation (5), en observant ensuite que l’on a
en vertu des équations
![{\displaystyle \mathrm {S} \lambda ^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,\qquad \mathrm {S} v^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,\qquad \mathrm {S} t^{(i)}\varepsilon ^{(i)}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2825b3654647170a40e567ffc1ec3d73ee3819c7)
on aura une équation d’où l’on tirera la valeur de
qui, substituée dans l’équation (5), donnera
(6)
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en faisant
![{\displaystyle r_{3}=r_{2}-t_{2}{\frac {\mathrm {S} t_{2}^{(i)}r_{2}^{(i)}}{\mathrm {S} t_{2}^{(i)^{2}}}},\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0f3bf501b0735a0166cec2d44c896b0acc34bf)
En continuant ainsi, on parvient à une équation de la forme
(7)
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Il résulte du no 20 du second Livre de ma Théorie analytique des probabilités [1] que si la valeur de
est déterminée par l’équation (7) et que
soit l’erreur de cette valeur, la probabilité de cette erreur est
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {s\mathrm {S} p_{5}^{(i)^{2}}}{2\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)^{2}}}}}c^{-{\frac {s\mathrm {S} p_{5}^{(i)^{2}}}{2\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)^{2}}}}u^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9dbad53ae2d355da8aac965c851c7b9c1c4e3e)
on a donc
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {s\mathrm {S} p_{5}^{(i)^{2}}}{2\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c522a13b3a53bd73b03be8a71ea360e6f3aeabe)
- ↑ Œuvres de Laplace, T. VII, p. 318.