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et, en différenciant,

$\varphi (\mathrm {D} )<{\frac {1}{\sqrt {2\mathrm {D} }}}\int {\frac {d\mathrm {D} \varphi (\mathrm {D} )}{\sqrt {2\mathrm {D} }}}=\varphi (\mathrm {D} )-{\frac {1}{\sqrt {2\mathrm {D} }}}\int d\mathrm {D} {\sqrt {2\mathrm {D} }}{\frac {d\varphi (\mathrm {D} )}{d\mathrm {D} }}.$

Or cette inégalité est évidente, car, $\varphi (\mathrm {D} )$ diminuant lorsque $\mathrm {D}$ augmente, ${\frac {d\varphi (\mathrm {D} )}{d\mathrm {D} }}$ est une quantité négative.

En examinant la Table des éléments des orbes cométaires déjà calculés, on voit qu’on s’éloignera peu de la vérité en faisant $\varphi (\mathrm {D} )=kc^{-\mathrm {D} ^{2}},$ $c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Alors la formule $(q)$ devient

${\frac {\sqrt {\pi }}{(\pi -2)i{\sqrt {2r}}\int s^{\frac {1}{4}}dsc^{-5}}}.$

En supposant, comme ci-dessus, $r=100000,$ et observant que l’on a

$\log 10\int s^{\frac {1}{4}}dsc^{-5}=0{,}9573211,$

la fraction précédente devient

${\frac {1}{8264{,}3}}\,;$

il y a donc alors, à fort peu près, $8263$ à parier contre l’unité qu’une nébuleuse qui pénètre dans la sphère d’activité du Soleil décrira un orbe dont le demi-grand axe sera au moins égal à $100.$ Ainsi l’on peut regarder la supposition de $\varphi (\mathrm {D} )$ constant, et ne s’étendant que jusqu’à $\mathrm {D} =2,$ comme la limite des suppositions favorables aux mouvements hyperboliques sensibles, en sorte qu’il y a au moins $56$ à parier contre l’unité que, sur cent comètes observables, aucune n’aura un semblable mouvement.