Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 13.djvu/110

et que la probabilité que le demi-grand axe sera inférieur à ${\frac {r}{2-i^{2}}}$ est

${\frac {\mathrm {D} }{i\mathrm {U} r{\sqrt {r}}}}.$

Pour avoir le rapport de ces probabilités, dans le cas où ces distances ne sont pas également possibles, il faut, suivant l’analyse des probabilités, différentier ces deux quantités par rapport à $\mathrm {D}$ et multiplier les différentielles par $\varphi (\mathrm {D} )\,;$ alors, suivant cette analyse, les probabilités précédentes seront respectivement comme les intégrales de ces produits, ou comme

${\frac {(\pi -2)}{2r\mathrm {\mathrm {U} } }}\int \varphi (\mathrm {D} )d{\sqrt {2\mathrm {D} }}:{\frac {1}{i\mathrm {U} r{\sqrt {r}}}}\int d\mathrm {D} \varphi (\mathrm {D} )\,;$

les intégrales étant prises depuis $\mathrm {D} =0$ jusqu’à sa limite, que l’on peut ici supposer infinie, car $\varphi (\mathrm {D} )$ est nul lorsque $\mathrm {D}$ surpasse $5.$ Ainsi la probabilité que le demi-grand axe de l’orbite sera inférieur à ${\frac {r}{2-i^{2}}}$ est

$(q)\qquad \qquad \qquad \quad {\frac {2\int d\mathrm {D} \varphi (\mathrm {D} )}{(\pi -2)i{\sqrt {r}}\int {\cfrac {d\mathrm {D} \varphi (\mathrm {D} )}{\sqrt {2\mathrm {D} }}}}}.$

Dans le cas de $\varphi (\mathrm {D} )$ constant, la fonction précédente devient

${\frac {\sqrt {2\mathrm {D} }}{(\pi -2)i{\sqrt {r}}}},$

ce qui est conforme à ce qui précède ; mais, si $\varphi (D)$ diminue quand $\mathrm {D}$ augmente, alors la formule $(q)$ diminue. Pour le faire voir, il suffit de prouver que, dans ce cas, on a

${\frac {2\int d\mathrm {D} \varphi (\mathrm {D} )}{\int {\cfrac {d\mathrm {D} \varphi (\mathrm {D} )}{\sqrt {2\mathrm {D} }}}}}<{\sqrt {2\mathrm {D} }}$

ou

$2\int d\mathrm {D} \varphi (\mathrm {D} )<{\sqrt {2\mathrm {D} }}\int {\frac {d\mathrm {D} \varphi (\mathrm {D} )}{\sqrt {2\mathrm {D} }}},$