Supposons ensuite à l’autre limite
![{\displaystyle r\mathrm {V} =i{\sqrt {r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a272ff22e66e5a183e6239b3b6894c9a9e464d6a)
et cherchons, dans ces limites, la valeur de l’intégrale
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad \int d\mathrm {V} \left[1-{\frac {\sqrt {1-{\cfrac {\mathrm {D} }{r}}}}{r\mathrm {V} }}{\sqrt {r^{2}\mathrm {V} ^{2}\left(1+{\frac {\mathrm {D} }{r}}\right)-2\mathrm {D} }}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f39a87f5ec4c59e74c7f7abaeba33a29d0dc9e99)
Soit
![{\displaystyle {\sqrt {r^{2}\mathrm {V} ^{2}\left(1+{\frac {\mathrm {D} }{r}}\right)-2\mathrm {D} }}=\left(r\mathrm {V} {\sqrt {1+{\frac {\mathrm {D} }{r}}}}-z\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5187636d4ae9ec4310d7aea084bfa83130287abd)
on aura
![{\displaystyle r\mathrm {V} ={\frac {2\mathrm {D} +z^{2}}{2z{\sqrt {1+{\frac {\mathrm {D} }{r}}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901319f12272dc69e4c864b40020f5dc57daa3c2)
la formule
devient ainsi
![{\displaystyle \mathrm {V} +{\frac {\sqrt {1-{\cfrac {\mathrm {D} }{r}}}}{r}}\int dz\left({\frac {1}{2}}-{\frac {4\mathrm {D} }{2\mathrm {D} +z^{2}}}+{\frac {\mathrm {D} }{z^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edfbbe5ca2beec65ec087ec4b76d17c23d9ccd0)
En intégrant, elle devient
![{\displaystyle (b)\qquad \mathrm {V} +{\frac {\sqrt {1-{\cfrac {\mathrm {D} }{r}}}}{r}}\left({\frac {z}{2}}-2{\sqrt {2\mathrm {D} }}\operatorname {arctang} {\frac {z}{\sqrt {2\mathrm {D} }}}-{\frac {\mathrm {D} }{2}}\right)+\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9b037991eb868de48835b680d2870164a25c93)
étant une constante arbitraire. Pour la déterminer, nous observerons que les deux limites de
étant, par ce qui précède,
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2\mathrm {D} }}{\sqrt {1+{\cfrac {\mathrm {D} }{r}}}}},\qquad i{\sqrt {r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9b3351d0fc824a77228a327993f1900f9e056f)
les limites correspondantes de
sont
![{\displaystyle {\sqrt {2\mathrm {D} }},\qquad i{\sqrt {r}}{\sqrt {1+{\frac {\mathrm {D} }{r}}}}\left[1-{\sqrt {1-{\frac {2\mathrm {D} }{i^{2}r\left(1+{\cfrac {\mathrm {D} }{r}}\right)}}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eb53cf6ebeab4a9a20c8b37dfcb9b0a82f5e00)