\varpi
étant l’angle que la direction de la vitesse
fait avec le rayon vecteur
Ces équations donnent, en éliminant
et
![{\displaystyle \sin ^{2}\varpi ={\frac {2\mathrm {D} -{\cfrac {2\mathrm {D} ^{2}}{r}}+\mathrm {D^{2}V^{2}} }{r^{2}\mathrm {V} ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6901220fcbd2cb4a3c600c0bb396eaaf422397f)
d’où l’on tire
![{\displaystyle 1-\cos \varpi =1-{\frac {\sqrt {1-{\cfrac {\mathrm {D} }{r}}}}{r\mathrm {V} }}{\sqrt {r^{2}\mathrm {V} ^{2}\left(1+{\frac {\mathrm {D} }{r}}\right)-2\mathrm {D} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d753fd7687d461ea141562d7728d3a7bda08b01)
Maintenant, si l’on imagine une sphère dont le centre soit celui de la comète et dont le rayon soit égal à la vitesse
cette vitesse pourra être également dirigée vers tous les points de la moitié de cette sphère comprise dans la sphère d’activité du Soleil. La probabilité d’une direction formant l’angle
avec le rayon vecteur sera
étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; en divisant donc l’intégrale
par la surface de la demi-sphère, on aura la probabilité que la direction de la vitesse
sera comprise dans les limites zéro et
cette probabilité est ainsi
Les limites de la distance périhélie qui correspondent à ces limites de
sont zéro et
en supposant donc toutes les valeurs de
également possibles, on a pour la probabilité que la distance périhélie sera comprise entre zéro et
![{\displaystyle 1-{\frac {\sqrt {1-{\cfrac {\mathrm {D} }{r}}}}{r\mathrm {V} }}{\sqrt {r^{2}\mathrm {V} ^{2}\left(1+{\frac {\mathrm {D} }{r}}\right)-2\mathrm {D} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e56c3b5bbc47bfe815aef6276e97017f315b2f)
Il faut multiplier cette valeur par
en l’intégrant ensuite dans des limites déterminées et divisant l’intégrale par la plus grande valeur de
valeur que nous désignerons par
on aura la probabilité que la valeur de
sera comprise dans ces limites. Cela posé, la plus petite valeur de
est celle qui rend nulle la quantité renfermée sous le radical précédent, ce qui donne
![{\displaystyle r\mathrm {\mathrm {V} } ={\frac {\sqrt {2\mathrm {D} }}{\sqrt {1+{\cfrac {\mathrm {D} }{r}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1fc44cff55474f1bf1a1002d405aa6a9866e31)