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déterminer la valeur approchée de $b^{(i)}$ lorsque $i$ est un grand nombre. Pour cela, j’observe que l’expression de $\mathrm {R}$ développée en série par rapport aux puissances de l’excentricité, que nous avons rapportée dans le n^o I, donne

$b^{(i)}=-{\frac {e^{i}i^{i-2}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}\left[i-{\frac {i+2}{1(i+1)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {i+4}{1.2(i+1)(i+2)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{4}\right.$

$\left.-{\frac {i+6}{1.2.3(i+1)(i+2)(i+3)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{6}\right].$

Le terme général de cette expression est

$\pm {\frac {e^{i}i^{i-2}}{1.2.3\ldots i.2^{i-1}}}\,{\frac {i+2r}{1.2.3(i+1)(i+2)\ldots (i+r)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2r}.$

Si l’on observe que, $r$ étant un très grand nombre, on a, à fort peu près,

$1.2.3\ldots r.1.2.3\ldots (i+r)=r^{r+{\frac {1}{2}}}(i+r)^{i+r+{\frac {1}{2}}}c^{-i-2r}2\pi \,;$

on peut donner à ce terme la forme

$\pm {\frac {e^{i}c^{i}i^{i-2}(i+2r)}{2^{i}\pi (i+r)^{i}{\sqrt {r(i+r)}}}}\left[{\frac {e^{2}i^{2}c^{2}}{4r(i+r)}}\right]^{r},$

quantité qui devient nulle lorsque $r$ est infini. La série de l’expression de $b^{(i)}$ est donc convergente.

Pour avoir sa valeur approchée, je considère la série

$(m)\qquad i+{\frac {i+2}{1(i+1)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {i+4}{1.2(i+1)(i+2)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{4}+\ldots ,$

dont le terme général est

${\frac {i+2r}{1.2.3\ldots r(i+1)(i+2)\ldots (i+r)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2r}.$

On aura, par la méthode exposée dans l’article I, la somme de cette série, fort approchée lorsque $i$ est un très grand nombre. Nommons $p$ le terme précédent, et supposons qu’il soit le plus grand des termes